Exakte Sequenz zerfällt (|G| = 8)

22.07.2012, 13:26	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Sequenz zerfällt (\|G\| = 8) Hallo, es geht um Gruppen der Ordnung 8. Genauer um den Fall, dass ein Element der Ordnung 4 existiert. Ich habe hier als Hinweis gegeben, dass in diesem Fall eine exakte Sequenz $\begin{eqnarray} 1 \to \mathbb{Z}_4 \stackrel{\varphi_1}{\to} G \stackrel{\varphi_2}{\to} \mathbb{Z}_2 \to 1 \end{eqnarray}$ existiert und man die Fälle unterscheiden soll, dass diese Sequenz zerfällt, d.h. es gibt einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \psi: \mathbb{Z}_2 \to G \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \psi \circ \varphi_2 = id_G \end{eqnarray}$ . Ich weiß, dass ich durch diese Unterscheidung die Gruppen $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2, D_4, Q_8 \end{eqnarray}$ herausbekommen muss. Leider weiß ich aber nicht wirklich, wie ich da rangehen sollte. Für einen kleinen Hinweis wäre ich dankbar. Viele Grüße
22.07.2012, 13:34	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Splitting-Lemma: de.wikipedia.org/wiki/Semidirektes_Produkt#Splitting-Lemma sollte helfen.
22.07.2012, 20:31	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Ich blick da irgendwie noch nicht ganz durch. Ich weiß aber auch nicht, was genau ich nicht verstehe. Sobald ich das präzisiert habe und sagen kann, wo mein Problem liegt, melde ich mich nochmal.

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