Konvergenzgebiet einer Potenzreihe

22.07.2012, 15:34

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzgebiet einer Potenzreihe

Hi,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe

Aufgabe
Gegebene Reihen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{(k+1)}} * (x^2 + 1)^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) \in R \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie Konvergenzgebiet der Reihe f(x) - Achten Sie bei der Rücksubstitution darauf, dass die Substitutionsvariable nicht beliebige Werte annehmen kann.

b) Warum ändert sich das Konvergenzgebiet nicht, wenn k bei 0 startet?

Frage
Wie ist hier das Vorgehen?
Ich denke das ich den Konvergenzradisu berechnen muss, allerdings weiß ich nicht wie das funktioniert. Meine Unterlagen konnten mir da auch nicht weiterhelfen, zumindest nicht so dass ich es verstehen würde.
Wäre super wenn hier jemand diese Aufgabe Schritt für Schritt lösen könnte, vielleicht mit ein wenig Erklärung, sodass ich mal ein gutes Beispiel habe und das Vorgehen erkennen kann.

22.07.2012, 15:43

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzgebiet einer Potenzreihe
Hi,

probier es mal damit,

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right| \end{eqnarray*}$

Also,

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{2^k\cdot(x^2+1)^k}{4^{k+1}} : \frac{2^{k+1}\cdot(x^2+1)^{k+1}}{4^{k+2}}\right| \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe keinen Zahlendreher eingebaut. verwirrt

verwirrt

Edit:
Ich sehe gerade, die Koeffizienten verschwinden. verwirrt

verwirrt

Da müssen andere Mittel zum Einsatz kommen und zwar die Regel von Cauchy Hadamard, einfach mal googeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2012, 16:02

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für die schnelle Antwort

Ich hab jetzt erstmal, weil da was von Substitution stand.
$\begin{eqnarray*} x:=x^2+1 \end{eqnarray*}$ substituiert, sodass
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{(k+1)}} * x^k \end{eqnarray*}$

somit ist die Reihe in der Form
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_k * x^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2^k}{4^{(k+1)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right| \end{eqnarray*}$

Jetzt setz ich mein $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ in die Formel ein

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{2^k}{4^{(k+1)}}}{\frac{2^{k+1}}{4^{(k+2)}}}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{2^k}{4^{(k+1)}} * \frac{4^{(k+2)}}{2^{k+1}}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{2^k}{4^{k}*4} * \frac{4^{k}*4^2}{2^{k}*2}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{4}{2}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|2\right|=2 \end{eqnarray*}$

Ist diese 2 nun mein Konvergenzradius?

Wie mach ich jetzt weiter??

22.07.2012, 16:08

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat wohl doch geklappt. verwirrt

verwirrt

Nun gut, du müsstest nun noch die 2 und die -2 einsetzen und schauen ob für die Werte die Reihe auch konvergiert. Ich verweise dafür mal auf WolframAlpha, zur Kontrolle. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

22.07.2012, 16:10

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist immer so beim Konvergenzradius das man einmal die positive und einmal die negative Zahl verwendet??

Und wo einstzen? nur in das x^2+1??

22.07.2012, 16:11

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Für dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ setzt du einmal $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ ein und schaust ob die Reihe konvergiert.

Anzeige

22.07.2012, 16:30

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Also -2 würde ich nicht in das z:=x²+1 einsetzen; davor wurde schon in der Aufgabenstellung gewarnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Achten Sie bei der Rücksubstitution darauf, dass die Substitutionsvariable nicht beliebige Werte annehmen kann.

22.07.2012, 16:34

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich fürchte hier ist einiges durcheinander geraten. Zuerst wird die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ betrachtet. Für den Konvergenzradius dieser Reihe ergibt sich laut eurer Rechnung $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert diese Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ . Die Randwerte $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ sind noch zu untersuchen. Nachdem das erledigt ist wird die eigentliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot (x^2+1)^k \end{eqnarray*}$ betrachtet und resubstituiert.

Gruß Shipwater

22.07.2012, 16:37

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm warum nicht -2?? Woran erkenne ich das ich diese nicht einsetzen darf? ist das hier nicht egal da steht ja x^2, da kommt doch für -2 und 2 das gleiche raus oder??

Wenn ich x=2 einsetze, dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k*5^k}{4^{(k+1)}} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nochmal eine Reihe auf Konvergenz prüfen?

War das mit Quotienten- und Wurzelkriterium? Ist es egal welches man nimmt? Woran erkennt man welches besser passt?

22.07.2012, 16:39

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von shipwater
Hallo,

ich fürchte hier ist einiges durcheinander geraten. Zuerst wird die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ betrachtet. Für den Konvergenzradius dieser Reihe ergibt sich laut eurer Rechnung $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert diese Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ . Die Randwerte $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ sind noch zu untersuchen. Nachdem das erledigt ist wird die eigentliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot (x^2+1)^k \end{eqnarray*}$ betrachtet und resubstituiert.

Gruß Shipwater

Danke für deine Antwort: Sorry, kann grad mit dem "Die Randwerte ... sind noch zu untersuchen" nichts anfangen. Hast du da mal ein Beispiel wie das geht?

22.07.2012, 16:44

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ divergiert. Die Fälle $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ müssen nun noch separat untersucht werden. Für $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot 2^k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ was offensichtlich divergiert. Das gleiche machst du nun noch für $\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$ . Danach sehen wir weiter.

Gruß Shipwater

22.07.2012, 16:47

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich fürchte hier ist einiges durcheinander geraten.

Was ist denn hier durcheinander geraten? verwirrt

verwirrt

Ich habe ihm doch gesagt er soll die 2 und die -2 einsetzen und schauen ob die Reihe konvergiert.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{(k+1)}} * x^k \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

22.07.2012, 17:07

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von shipwater
Der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ divergiert. Die Fälle $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ müssen nun noch separat untersucht werden. Für $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot 2^k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ was offensichtlich divergiert. Das gleiche machst du nun noch für $\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$ . Danach sehen wir weiter.

Gruß Shipwater

Ok, nochmal für mich etwas langsamer Augenzwinkern

Augenzwinkern

1.Frage: Darf ich den Konvergenzradius direkt als z einsetzen? Weil ich ja im 1.Schritt $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ substituiert habe?

Ich versuche mal deine Rechung, wie du für 2 auf 1/4 kommst nachzuvollziehen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot 2^k=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k\cdot 2^k}{(2\cdot2)^{k}\cdot 4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

2.Frage: Die Lösung mit z=2 divergiert, weil die Summe von 1/4 bis ins unendliche, unendlich wird?

Und jetzt mein Versuch mit -2
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot (-2)^k=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot \frac{2^k\cdot 2^k}{(2\cdot2)^{k}\cdot 4}=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\cdot\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
d.h. dies wäre eine Reihe: -1/4,+1/4,-1/4,+1/4 => dann konvergiert diese Reihe auch nicht oder?

22.07.2012, 17:26

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte zunächstmal wirklich nur die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ und lasse die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot (x^2+1)^k \end{eqnarray*}$ außen vor.
Und dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ divergiert ist intuitiv klar, denn wenn ich unendlich mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ addiere, dann kann da nichts endliches rauskommen. Um das mathematisch zu belegen gibt es mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{4}=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{4}=\infty \end{eqnarray*}$ . Eine andere Möglichkeit wäre zu benutzen, dass eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ nur dann konvergieren kann, wenn $\begin{eqnarray*} a_k \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Für $\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Die Divergenz dieser Reihe kannst du wieder damit begründen, dass $\begin{eqnarray*} \left( (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\right)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.
Wir wissen nun also dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ genau dann konvergiert wenn $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ . Damit konvergiert die ursprüngliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{4^{k+1}} \cdot (x^2+1)^k \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} |x^2+1|=x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ . Diese Ungleichung gilt es nun noch zu lösen.

Gruß Shipwater

22.07.2012, 17:47

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ich das glaub mit dem Rand verstanden. Durch den Konvergenzradius von 2, wissen wir das die Reihen konvergiert wenn -2 < z < 2.

Mit dem Einsetzen von 2 und -2 probieren wir nur aus, ob auch bei den beiden Randpunkte also -2 und 2 eine konvergenz besteht, wenn ja dann müsst man aus dem < ein <= Zeichen machen richtig?

$\begin{eqnarray*} -2 \le x^2 + 1 \le 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3 \le x^2 \le 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \le x \le \sqrt{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1 \end{eqnarray*}$

0 auf der linken Seite, weil die Wurzel von -3 nicht im Reellen liegt, aber laut Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(x) \in R \end{eqnarray*}$

Und das sagt mir jetzt, dass diese Reihe nur konvergiert, wenn für x die folgende Bedingung gilt? $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 1 \end{eqnarray*}$

22.07.2012, 17:53

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe-noob5
Mit dem Einsetzen von 2 und -2 probieren wir nur aus, ob auch bei den beiden Randpunkte also -2 und 2 eine konvergenz besteht, wenn ja dann müsst man aus dem < ein <= Zeichen machen richtig?

Richtig, aber wir haben hier ja gezeigt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert also bleibt es bei $\begin{eqnarray*} x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ . Löse nun also einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ und du bist fertig.

Gruß Shipwater

22.07.2012, 18:09

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von shipwater
Richtig, aber wir haben hier ja gezeigt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z=\pm 2 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert also bleibt es bei $\begin{eqnarray*} x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ . Löse nun also einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ und du bist fertig.

Gruß Shipwater

Ähm, hab ich die Ungleichung nicht schon in meinem letzten Beitrag gelöst??

Ok hier nochmal nur mit <:

$\begin{eqnarray*} -2 < x^2 + 1 < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3 < x^2 < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} < x < \sqrt{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$

0 auf der linken Seite, weil die Wurzel von -3 nicht im Reellen liegt, aber laut Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(x) \in R \end{eqnarray*}$

Und das sagt mir jetzt, dass diese Reihe nur konvergiert, wenn für x die folgende Bedingung gilt? $\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$

22.07.2012, 18:16

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe-noob5
$\begin{eqnarray*} -3 < x^2 < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} < x < \sqrt{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$

So darfst du das aber nicht schreiben! Weil $\begin{eqnarray*} -2<x^2+1 \end{eqnarray*}$ sowieso für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, reicht es wie gesagt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+1<2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Das ergibt $\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$ und den letzten Schritt überlasse ich jetzt dir (aber bitte richtig radizieren!).

Gruß Shipwater

22.07.2012, 18:24

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$

Richtig??

22.07.2012, 18:27

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Ergebnis stimmt. Du musst dir aber unbedingt klar machen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ gilt. Damit folgt dann direkt $\begin{eqnarray*} x^2<1 \Leftrightarrow |x|<1 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

25.07.2012, 12:53

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Was ist denn hier durcheinander geraten?

Zunächst mal ist dein erster Beitrag hier schon verwirrend bzw. kann ich nicht nachvollziehen welches Ziel deine Rechnung verfolgt. Dann finde ich auch noch verwirrend, dass $\begin{eqnarray*} x:=x^2+1 \end{eqnarray*}$ substituiert wurde. Für die neu eingeführte Variable sollte man doch lieber einen neuen Buchstaben wählen. Und dann schien es mir auch noch so als wäre mathe-noob5 durcheinander geraten und wüsste gar nicht was genau eigentlich berechnet wurde, siehe:

Zitat:

Original von mathe-noob5
das ist immer so beim Konvergenzradius das man einmal die positive und einmal die negative Zahl verwendet??

Und wo einstzen? nur in das x^2+1??

Gruß Shipwater

29.07.2012, 12:54

mathe-noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzgebiet einer Potenzreihe

Zitat:

Original von mathe-noob5
b) Warum ändert sich das Konvergenzgebiet nicht, wenn k bei 0 startet?

Hat jemand noch eine Antwort auf diese Frage? Gibt es da etwas allgemeingültiges oder ist das speziell für diese Reihe?

05.08.2012, 10:12

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist allgemeingültig, denn endlich viele Summanden sind egal.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »