Bestimmen einer Jordanbasis

22.07.2012, 16:24

FreddyKrüger

Bestimmen einer Jordanbasis

Hallo

Ich komme mit einer Lösung einer Aufgabe nicht ganz klar.

Ich soll ein Jordanbasis bestimmen, also eine invertierbare Matrix S für die gilt $\begin{eqnarray*} S^{-1}*A*S=J \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & -1 & -3 & -2 \\ -2 & 3 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist

Das Charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray*} p(x)=(2- x )^4 \end{eqnarray*}$

Und
$\begin{eqnarray*} (A-2*E_n)=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & -3 & -3 & -2 \\ -2 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} dim(A-2*E_n)=2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Wie kommen die auf die Form von J ?
Dass $\begin{eqnarray*} dim(A-2*E_n)=2 \end{eqnarray*}$ gilt, heißt doch, dass es 2 Jordanblöcke gibt.
Und dann könnte doch J auch:

$\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so aussehen, oder?
Verstehe ich da was falsch?

Danke

22.07.2012, 16:52

Kiwiatmb

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Hast du dich irgendwo vertippt? Denn ich komme beim charakteristischen Polynom auf $\begin{eqnarray*} p(x)=(2-x)²(2-\sqrt{2}-x)(2+\sqrt{2}-x) \end{eqnarray*}$ und daher auf andere Eigenwerte (und damit auch auf eine andere Jordannormalform).

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} dim(A-2*E_n)=2 \end{eqnarray*}$

Auch das stimmt leider nicht. unglücklich

Die Dimension/der Rang dieser Matrix ist 3. Daher folgt für den Kern (und damit den Eigenraum) die Dimension 4-3=1, woraus wiederum folgt, dass es nur ein Jordankästchen (der Länge 2) zum EW 2 gibt.

Da passt also was nicht ganz zusammen...

22.07.2012, 17:17

FreddyKrüger

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RE: Bestimmen einer Jordanbasis
Hi

Und Danke für deine Zeit.
Habe mich leider vertippt unglücklich

Entschuldigung

Die richtigen Matrizen sind

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & -1 & -3 & -2 \\ -2 & 3 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-2*E_n)=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & -3 & -3 & -2 \\ -2 & 3 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habs auch noch mal nach gerechnet, nun stimmt es.

PS: die 1 unten in der Linken ecke war der Fehler.

22.07.2012, 18:36

Kiwiatmb

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Dann sehe ich das zunächst genauso wie du. Von der Rechnung bis dahin kann man eigentlich nicht eindeutig auf die Jordannormalform schließen. Vielleicht sieht ein anderer User hier noch die entscheidende Idee, ich jedenfalls nicht.

Hattet ihr vielleicht schon folgende Formel?
(Im Prinzip hast du sie schon verwendet, als du sagtest "Dass $\begin{eqnarray*} \dim(A-2\cdot E_n)=2 \end{eqnarray*}$ gilt, heißt doch, dass es 2 Jordanblöcke gibt.", aber das ist eben eine kleine Verallgemeinerung.)

$\begin{eqnarray*} \dim(\ker(A-\lambda\cdot E_n)^p)-\dim(\ker(A-\lambda\cdot E_n)^{p-1})=k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{Es gibt genau k Jordankästchen der Länge }\geq p\text{ im Jordanblock zum Eigenwert }\lambda \end{eqnarray*}$
Wenn ihr das schon hattet, setzt man für p=2 und erhält recht schnell k=2, womit die Jordannormalform dann feststeht.

23.07.2012, 07:59

FreddyKrüger

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Guten Morgen
Den Satz haben wir so nicht gehabt, aber etwas ähnliches mit Haupträumen bewiesen, was das gleiche aussagt.
Aber es wäre ja trotzdem keine triviale Folgerung.
Wobei es in diesem Fall doch sehr einfach ist das Minimalpolynom zu berechnen. Da $\begin{eqnarray*} (A-2*E_n)^2=0 \end{eqnarray*}$
ist das Minimal Polynom $\begin{eqnarray*} (2- x )^2 \end{eqnarray*}$ , somit ist das größte Jordankästchen 2x2. So habe ich es gemacht.
Aber da es in der Lösung nicht gemacht wurde, dachte ich ich habe etwas nicht verstanden.

Die Lösung scheint mir ohne hin sehr kompliziert.
Würde sie hier gerne ganz reinschreiben, aber die ist wirklich zu lang.

Ich habe ungefähr nur ein Viertel von dem geschrieben, was in der Musterlösung stand, was mich auch ein wenig verunsichert.
Ich habe mir einfach 2 Vektoren einer Basis des Hauptraumes $\begin{eqnarray*} \mathbb C^5 \end{eqnarray*}$ genommen, z.B. $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$
Diese habe ich dann mit $\begin{eqnarray*} (A-2*E_n) \end{eqnarray*}$ miltipliziert.
Also:
Sei $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} & & & \\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ & & & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2= e_1 , v_4=e_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_1=(A-2*E_n)*e_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_3=(A-2*E_n)*e_2 \end{eqnarray*}$

Damit bekommt man die zwei Jordanketten der Länge 2:

$\begin{eqnarray*} A*v_1=2*v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A*v_2=v_1+2*v_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A*v_3=2*v_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A*v_2=v_3+2*v_4 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} v_1 , v_2 ,v_3, v_4 \end{eqnarray*}$ sind auch linear unabhängig (müsste ich das überhaupt noch zeigen?)

Somit ist $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} & & & \\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ & & & \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So habe ich es gemacht. Wäre die so okay?

23.07.2012, 15:50

Neulingsbursche

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Hi Freddy,

soweit ich weiß, musst du nicht mehr zeigen, dass die Vektoren die du da als Basis gewählt hast linear unabhängig sind, da dies Bestandteil des Satzes über Jordannormalformen ist.

Zu deiner Vorgehensweise: Du hast einfach zwei Vektoren aus einer Basis gewählt.
Das ist soweit ich weiss nicht korrekt, wobei du mit deiner Wahl Glück hattest.

Hättest du zum Beispiel die Vektoren des Eigenraums zum Eigenwert 2 gewählt, wäre es nicht aufgegangen.

Du musst halt Vektoren aus einer Basis des Vektorraumes wählen die nicht in dem ker(A-2I)^(p-1) enthalten sind, wenn p die Potenz ist, wo der Kern = dem Vektorraum ist.

23.07.2012, 19:29

FreddyKrüger

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Hi Neulingsbursche

Danke für Deine Antwort.

Du hast recht, das habe ich ein bisschen schlampig aufgeschrieben.

$\begin{eqnarray*} v_2 , v_4 \end{eqnarray*}$ müssen in diesem Fall aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C^5 \backslash (A-2*E) \end{eqnarray*}$
Man würde natürlich auch schnell merken, dass es falsch ist, da multipliziert mit (A-2*E) den Nullvektor ergebe, was nach dem Satz über Normalformen nicht gelten darf.

Weshalb die lineare Unabhängigkeit folgen soll verstehe ich allerdings nicht und ich habe auch nichts dazu gefunden.
Warum sollte es aus dem Satz über Jordanische Normalformen folgen, dass 2 Jordanketten zu einem Eigenwert linear unabhängig sind?

Gruß

25.07.2012, 17:32

FreddyKrüger

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Könnte mir darauf noch jemand eine Antwort geben?

Danke Freude

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