Lösung des Differentialgleichungssystem

31.01.2007, 12:59	cs180703	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung des Differentialgleichungssystem Hallo, ich will folgendes DGL-system lösen, aber irgendwie klemmt es gerade bei der speziellen Lösung. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 8 & -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2x \\ 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die homogene Lösung habe ich schon ausgerechnet und komme auf: $\begin{eqnarray} y_h = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} e^x + C_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} e^x + C_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 4/3 \\ 3 \end{pmatrix} e^{-3x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C_1,C_2,C_3 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Nun brauch ich noch die spezielle Lösung. Ich weiß das ich diese mit einem Ansatz ausrechnen kann. Meine Idee für den Ansatz ist: $\begin{eqnarray} y_s = \begin{pmatrix} ax \\ bx \\ cx \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So und jetzt komme ich nicht mehr weiter, hoffe mir kann jemand helfen. Danke schon mal.
31.01.2007, 14:12	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt auch erstmal nur bis zur homogenen Lsg. durchgerechnet... - deine stimmt nicht ganz. Der zweite Vektor ist ja kein Eigenvektor sondern ein Hauptvektor, d.h. du brauchst die Lösungsformel bei der die Ableitungen von Polynomen drin vorkommen ( steht im Skript unter: Konstruktion des Fundam.Syst. im allgemeinen Fall ) außerdem stimmt dein dritter Vektor nicht, statt 3/4 müsste da 4/3 stehen, wenn ich mich nicht verrechnet habe... ich schreib nochmal, wenn ich die inhomogene gelöst hab... edit: also mit Variation der Konstanten lässt sich das schon gut lösen, falls dein Lösungsansatz dich nicht weiterbringt. mfg Sunwater
31.01.2007, 14:32	cs180703	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 3/4 sind ein Tippfehler, es müssen natürlich 4/3 sein. (geändert) Das der zweite Vektor ein Hauptvektor ist stimmt, die Lösung ist daher nicht ganz richtig. Müßte sie so lauten: $\begin{eqnarray} y_h = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} e^x + C_2(x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) e^x + C_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 4/3 \\ 3 \end{pmatrix} e^{-3x} \end{eqnarray}$ ???
31.01.2007, 14:35	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
genau!

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