Algebraischer Abschluss ist selbst algeb. abgeschlossen. |
| 23.07.2012, 00:27 | Arbmosal | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Algebraischer Abschluss ist selbst algeb. abgeschlossen. Sagen wir k ist ein Körper und L sein algebraischer Abschluss. Das bedeutet ersteinmal aber nur, dass jedes Polynom aus k[X] in L zerfällt. Wie folgt daraus aber, dass auch jedes Polynom aus L[X] zerfällt? Ich denke einen Beweis zu haben, bin mir aber nicht sicher ob er vollständig ist. Vielleicht kannst du, lieber Leser, drüber schauen und mir sagen ob noch was fehlt =) Lemma: Jede Einbettung eines Körpers K in einen algebraisch abgeschlossenen Körper L lässt sich auf jede algebraische KE von K. Ist also M/K eine algebraische KE dann existiert ein Homomorphismus M->L. Beweis: Natürlich darf ich annehmen, dass K ein Unterkörper von L ist. Nun betrachte ich die Menge aller Zwischenkörper M' auf die sich die Einbettung noch ausdehnen lässt. Nach dem Lemma von Zorn nehme ich an, dass M' das der größte Zwischenkörper ist der sich noch in L einbetten lässt. Angenommen M' ist nicht L, dann gibt es doch zumindest ein Element a in L\M' auf das sich die Einbettung nicht ausdehnen lässt. Dann nehmen wir uns das Minimalpolynom von a in M'[X] und das muss eine Nullstelle b in L haben. M(a) ist dann eine primitive Körpererweiterung aber die muss sich dann zu einer Einbettung nach L ausweiten lassen. Dann ist M' also nicht maximal bzw. es gilt M'=L Jetzt will ich noch zeigen, dass der algebraische Abschluss eines Körpers bis auf Isomorphismus eindeutig ist (wobei der Isomorphismus natürlich nicht eindeutig ist). Beweis: Seien L und M zwei algebraische Abschlüsse von K. Dann betrachte ich die Identität auf K die muss sich aber ausweiten lassen zu einer Einbettung L nach M. Weil L Körper ist, ist diese Einbettung tatsächlich injektiv. Bleibt noch Surjektivität: Ist P ein Polynom in K[X] dann hat es, weil der Polynomring faktoriell ist, in L und in M gleich viele Nullstellen, die ich aufeinander abbilden kann. Ich habe also eine Bijektion von Nullstellen von Polynomen und damit die Surjektivität. Zurück zur Anfangssituation. Wenn L der algebraische Abschluss von K ist und es eine algebraische KE M/L gibt, dann ist auch M algebraisch abgeschlossen über K und damit muss bereits M=L gelten. Richtig? Danke und Gruß |
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