Division von Quaternionen

11.07.2004, 03:41

BlackJack

Division von Quaternionen

Moinsen.

also wie der titel schon andeutet:
könnte mir jemand sagen, wie man 2 quaternionen dividiert? am besten mit ein bisschen code (z.b. pascal, aber c++ oder so sollte auch gehen), weil ich es für mein projekt brauche (=> signatur).

ach ja, kennt jemand vielleicht eine internetseite, auf der auch noch andere rechnungen mit quaternionen beschrieben werden? ich hab ewig gesucht und nichts gefunden.

danke.

11.07.2004, 08:50

Leopold

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Für die Elemente des Quaternionenschiefkörpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{H} \end{eqnarray*}$ schreibe ich wie üblich

$\begin{eqnarray*} x \ = \ \alpha e + \beta i + \gamma j + \delta k \end{eqnarray*}$

wobei e das Einselement ist und

$\begin{eqnarray*} i^2 = j^2 = k^2 = -e \end{eqnarray*}$

sowie die zyklischen Relationen

$\begin{eqnarray*} ij = k , \ jk = i , \ ki = j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ik = -j , \ kj = -i , \ ji = -k \end{eqnarray*}$

gelten. $\begin{eqnarray*} \alpha , \ \beta , \ \gamma , \ \delta \end{eqnarray*}$ sind reelle Zahlen.

Zwei Quaternionen werden distributiv unter Beachtung der obigen Relationen zwischen den Basiselementen e,i,j,k ausmultipliziert.

Die zum x oben konjugierte Quaternion ist per definitionem

$\begin{eqnarray*} x' \ = \ \alpha e - \beta i - \gamma j - \delta k \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} x'x \ = \ (\alpha e - \beta i - \gamma j - \delta k)(\alpha e + \beta i + \gamma j + \delta k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{matrix} \alpha^2 e +\alpha \beta i + \alpha \gamma j + \alpha \delta k \\ -\alpha \beta i + \beta^2 e - \beta \gamma k + \beta \delta j \\ -\alpha \gamma j + \beta \gamma k + \gamma^2 e - \gamma \delta i \\ -\alpha \delta k - \beta \delta j + \gamma \delta i + \delta^2 e \end{matrix} \ = \ (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2)e \end{eqnarray*}$

Wenn man also den Betrag einer Quaterion x (wie oben) gemäß

$\begin{eqnarray*} |x| \ = \ \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2} \end{eqnarray*}$

definiert, so gilt, wie soeben gezeigt:

$\begin{eqnarray*} x'x \ = \ |x|^2 e \end{eqnarray*}$ (und ebenso $\begin{eqnarray*} xx' \ = \ |x|^2 e \end{eqnarray*}$ )

Das multiplikative Inverse von $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist daher

$\begin{eqnarray*} x^{-1} \ = \ \frac{1}{|x|^2} x' \end{eqnarray*}$

Über die Quaternionen und ihre Geometrie findest du etwas in
H.-D. Ebbinghaus et alii, Zahlen, Springer 1983

11.07.2004, 14:39

BlackJack

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ahh, danke. (das meiste wusste ich allerdings schon, aber trotzdem... Augenzwinkern

)

d.h. wenn ich zwei quaternionen p, q dividieren will, muss ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \,\,\, = \,\,\, p \cdot q^{-1} \,\,\, = \,\,\, p \cdot \frac{1}{{|q|}^2} \cdot q' \end{eqnarray*}$
simmt das in etwa (auch wegen der "nichtkommutativität" der multiplikation; es könnte ja auch $\begin{eqnarray*} q^{-1} \cdot p \end{eqnarray*}$ sein, oder nicht (und vor allem: weshalb nicht)?)

und man nennt $\begin{eqnarray*} |p|^2 \end{eqnarray*}$ doch einfach die Norm von p, oder?

aber trotzdem danke nochmal.

p.s.: schreibt man konjuguierte quternionen nicht mit so einem strich drüber? also so: $\begin{eqnarray*} \frac{}{q} \end{eqnarray*}$ so kenne ich das zumindest von den komplexen zahlen.

11.07.2004, 15:42

Leopold

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Ich denke, es macht keinen Sinn, eine Division $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ zweier Quaternionen x,y einzuführen, weil in der Tat $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{-1}x \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe sind.

Die konjugierte Quaternion hätte ich gerne mit dem Überstrich gekennzeichnet (die Affinität zur komplexen Konjugation ist ja offensichtlich), ich weiß aber nicht, wie das in Latex geht.

Möglicherweise nennt man |x|² auch die Norm von x. Das Wort Norm wird in verschiedenen Kontexten verschieden verwendet.

11.07.2004, 16:03

BlackJack

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wie, und dann gibt es für quaternionen einfach keine division? hmm, schade. nunja, eigentlich war ich auch nur an 1/q interessiert, da hab ich ja nun. danke nochmal. (im nachhinein fällt mir mal auf, dass ich auch die formel für 1/q auc so drauf hätte kommen müssen, da für komplexe zahlen ja das selbe gilt...)

p.s.: $\begin{eqnarray*} \frac{}{q} \end{eqnarray*}$ habe ich einfach so realisiert (geht aber bestimmt noch anders):

code:
1:	\frac{}{q}

13.07.2004, 21:45

BlackJack

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ok, ich hätte dann noch ein paar weitere fragen zu rechnungen mit quaternionen, und zwar:
wie kann ich für ein quaternion p $\begin{eqnarray*} e^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(p) \end{eqnarray*}$ realisieren? und wenn wir schonmal dabei sind, wie ginge dann $\begin{eqnarray*} p^q \end{eqnarray*}$ mit 2 quaternionen p,q?

am liebsten wäre mir eine lösung, bei der man "realtiv" wenig rechnen muss, da ich diese formeln wie gesagt für mein fraktalprogramm benutze (siehe signatur) und sie teilweise mehrere zehnmillionen mal für ein einziges bild benutzen muss. geschockt

also danke schonmal.

p.s.: hauptsächlich bin ich an den formeln interessiert, aber gegen eine "herleitung" der formel hätte ich natürlich auch nichts einzuwenden. Augenzwinkern

13.07.2004, 22:40

Leopold

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Ich habe noch nie etwas von Analysis auf Quaternionen gehört. Aber die einzig sinnvolle Definition von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für eine Quaternion x schiene mir in Analogie zum Reellen oder Komplexen die Festsetzung

$\begin{eqnarray*} e^x \ = \ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz der Reihe wäre zu untersuchen. Ob bzw. inwieweit diese Funktion umkehrbar ist, scheint mir auch nicht unbedingt einfach zu beantworten zu sein (das sind ja noch zwei Dimensionen mehr als im Komplexen!).

13.07.2004, 23:14

Irrlicht

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Hallo,

Die Division zweier Quaternionen gibt es tatsächlich nicht, denn wie Leopold schon schrieb sind x*y^-1 und y^-1*x im allgemeinen verschieden. Man kann aber diese beiden Ausdrücke als Links- und Rechtsdivision definieren. Eine mögliche Schreibweise ist
x/y := x*y^-1
x\y := y^-1*x.
Die Notation ist abgeleitet von den entsprechenden Operationen in einer Quasigruppe.

Der Kehrwert eines Quaternions (ungleich 0) ist dagegen eindeutig bestimmt.

Auf http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion wird das Exponential eines rein imaginären Quaternions definiert. Ob sie sich auf beliebige Quaternionen fortsetzen lässt, weiß ich nicht.

Lieben Gruss,
Irrlicht

14.07.2004, 10:05

Leopold

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Auf dieser Seite ganz unten steht vielleicht das, was du suchst:
http://www.calc3d.com/help/gquaternion.html

14.07.2004, 13:18

Irrlicht

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Oder hier ab Seite 21
http://math.berkeley.edu/~lam/quat.ps

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