Globale Extrema

23.07.2012, 10:44

Katrin9

Globale Extrema

Meine Frage:
Kann mir jemand erklären, wie man unterscheidet, ob ein Extremum global oder lokal ist? Ich versteh es leider gar nicht. Wir hatten das irgendwie mit Vorzeichenänderung oder Randwertbetrachtung gemacht. Wenn ein Integral gegeben ist könnte ich mir ja vorstellen einfach die Randwerte in die Funktion einzugeben und zu schauen, ob der Wert über oder unter dem Extremum liegt. Ist das richtig?? Und wie mache ich das bei Funktionen ohne Integral? Zum Beispiel bei dieser hier:

$\begin{eqnarray*} \left(x^{2} +4x\right)e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe heraus bekommen, dass bei $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{17} = -3,56 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{17} = 0,56 \end{eqnarray*}$ die Extrema liegen. Sind die jetzt lokal oder global??

23.07.2012, 10:58

system-agent

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Zunächst einmal steht da keine Funktion, sondern nur ein Term, das ist ein grosser Unterschied.

Eine Funktion braucht nicht nur eine Funktionsvorschrift, sondern auch ein Definitions- und Zielbereich. Denn genau das macht dann die Unterschiede aus.
Sprich es ist ein Unterschied, auch was die Extrema angeht, ob du deine Funktion auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder sonstwo betrachtest.

23.07.2012, 11:04

Katrin9

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RE: Globale Extrema
Ach so, das habe ich vergessen hin zu schreiben. Der Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

23.07.2012, 11:27

system-agent

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Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ natürlich keinen Rand hat, kannst du dir auch die Frage nach Randextrema sparen.

Ansonsten liefert dir hier die Ableitung alle Kandidaten, an denen ein Extremum sein kann [Nullstellen der Ableitung].
Bleibt die Frage ob das wirklich Extrema sind. Macht die Ableitung dort einen Vorzeichenwechsel, dann ist es ein Extremum.

Alle so gefundenen Extrema sind lokale Extrema. Das globale Maximum zum Beispiel findest du, in dem du das grösste aller lokalen Maxima suchst [einfach Funktionswerte vergleichen].

23.07.2012, 11:37

Mystic

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Zitat:

Original von system-agent
Alle so gefundenen Extrema sind lokale Extrema. Das globale Maximum zum Beispiel findest du, in dem du das grösste aller lokalen Maxima suchst [einfach Funktionswerte vergleichen].

Glaube nicht, dass dies hier so funktioniert... Immerhin geht ja die Funktion gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ , d.h., ein lokales Maximum kann m.E. niemals auch global sein...

24.07.2012, 08:22

system-agent

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Da hast du Recht, das was ich geschrieben habe funktioniert nur für beschränkte Funktionen.

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