Satz des Euklid - Was ist ein Primteiler?

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Satz des Euklid - Was ist ein Primteiler?
Meine Frage:
Warum muss m+1 einen Primteiler besitzen und was ist ein Primteiler?

Meine Ideen:
-
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Primteiler einer Zahl ist eine Primzahl, die teilt.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz des Euklid - Was ist ein Primteiler?
Ja, und m+1 muss keinen Primteiler besitzen, wie man für m=0 sieht...
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Warum muss m+1 denn einen Primteiler haben wenn es keine Primzahl ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest etwas genauer sagen, was du meinst...was ist ? Was ist die Aussage die dir Probleme macht?

Ich vermute jetzt einfach mal, dass du dich auf den Beweis von Euklid beziehst, nach dem es unendlich viele Primzahlen gibt. Da werden noch andere Anforderungen an das bzw. das gestellt. In der Aussage von Euklid folgt die Existenz eines Primteilers dann aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik (sofern selbst keine Primzahl ist, was die Annahme sonst sofort zum Widerspruch führt).
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Danke,
ja, ich meine es in Bezug auf den Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen...
Also ist es der Fundamentalsatz der Arhitmetik der mir zum Verständnis dieses Beweises fehlt, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend ist dem so, allerdings sollte dir zumindest die Aussage vertraut sein: jede natürliche Zahl lässt sich (eindeutig) als Produkt von Primzahlen schreibe.
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Danke,
das heisst dann widerrum das jede nat. Zahl, welche keine Primzahl ist einen Primteiler hat, wenn ich es richtig verstanden habe..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schließt du die Primzahlen denn aus? Diese besitzen auch (genau) einen Primteiler.
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Und wie lautet der Beweis für deine Aussage(Form?), dass sich jede nat. Zahl (ausgenommen Primzahlen) als Produkt von primzahlen darstellen lässt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal: wieso schließt du die Primzahlen auf? Diese lassen sich auch als Produkt von Primzahlen schreiben.

Den Beweis findet man in diversen Lehrbüchern zur Zahlentheorie, sollte aber auch im Internet (z.B. Wikipedia) zu finden sein.
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Ja ich habe es verstanden, Primzahlen habe einen Primteiler, sich slebst smile , Danke für deine Antworten hast mir sehr geholfen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie ist, wie ich an anderer Stelle schon mal gesagt habe, hier ein viel zu "schweres Geschütz"... Ist nämlich n>1 eine ganze Zahl, so ist die Menge



wegen nichtleer und von läßt sich dann leicht zeigen, dass es ein Primteiler von n sein muss...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fundamentalsatz kommt aber oftmals schon in der Schule vor, zumindest in der Art "Für natürliche Zahlen gibt es eine Primfaktorzerlegung." Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Der Fundamentalsatz kommt aber oftmals schon in der Schule vor, zumindest in der Art "Für natürliche gibt Zahlen es eine Primfaktorzerlegung." Augenzwinkern

Ja, das war mir schon klar, aber dessen Beweis ist um Größenordungen aufwändiger und komplizierter als der Euklidischer Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlenmenge, sodass man m.E. die "Dinge auf den Kopf stellt", wenn man ihn da einfließen lässt, zumal das ja, wie von mir oben skizziert, leicht vermeidbar ist... Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dem Argument kann ich natürlich nichts entgegensetzen (Allerdings ist der Beweis für den Fundamentalsatz auch nicht so kompliziert und durchaus empfehlenswert diesen mal zu machen). Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Beweis des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie ist bekanntlich induktiv, und auf Schulniveau ergeben sich da folgende Schwierigkeiten:

1. Für den Induktionsanfang mit n=1 benötigt man das "leere Produkt" von Primzahlen, was für manche schon etwas ungewohnt sein dürfte...

2. Um die Behauptung für ein n>1 zu zeigen, genügt nicht die Gültigkeit der Behauptung, wie sonst oft, für n-1, sondern diese muss für alle positiven ganzen Zahlen < n vorausgesetzt werden...

3. Im Beweis selbst wird für die Eindeutigkeitsaussage an entscheidender Stelle die Eigenschaft



von Primzahlen benötigt, die also vorher noch gesondert bewiesen werden muss...

Insgesamt gesehen würde ich somit diesen Beweis - im Gegensatz zum Euklidischen Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlenmenge - als durchaus anspruchsvoll für die Schule ansehen... Wink
Kessl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Noch einmal: wieso schließt du die Primzahlen auf? Diese lassen sich auch als Produkt von Primzahlen schreiben.

Den Trick mach mir mal vor, eine Primzahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben. Du bekommst einen Lolli von mir.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

p=p

die rechte Seite ist ein Produkt mit einem Faktor.
Ich hätt jetzt gern meinen verdienten Lolli.
Kessl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
eine Primzahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben

p ist maximal eine Primzahl und keine Primzahlen. Abgesehen davon ist ein Produkt mit nur einem Faktor kein Produkt mehr.
Kein Lolli dafür.
KleinerGast Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematisch gesehen ist es ein Produkt über Primzahlen.

Nämlich .
Es ist also ein Produkt (definitionsgemäß - siehe Wikipedia. Es gibt sogar ein Produkt von null Zahlen. Cool oder?). Und Produkt von Primzahlen heißt (quasi auch definitionsgemäß), dass jeder Faktor eine Primzahl ist. Das ist hier erfüllt, also ist es ein Produkt von Primzahlen.

tatmas hat den Lolli also verdient.
Kessl Auf diesen Beitrag antworten »

Dein leeres Produkt hat aber den Wert 1 und das ist keine Primzahl mehr :P.

Aber nochmal, ein Produkt von Primzahlen muss mindestens 2 Elemente enthalten, andernfalls nenne es ein Produkt aus (beliebig vielen) Elementen der Menge der Primzahlen.

Und mit dem Lolli habe ich Iorek angesprochen, nicht tatamas.
KleinerGast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das leere Produkt lediglich als Beispiel aufgeführt, da mir ja nicht glaubst, dass ein Produkt auch einen einzigen Faktor haben kann. Ich weiß nicht, wo ich behauptet haben sollte, dass es eine Primzahl ist. Kannst du mir das zitieren?
Aber irgendwie lustig, dass du akzeptierst, dass es ein Produkt von null Faktoren gibt, aber nicht (akzeptiert hast?), dass es ein Produkt von einem Faktor gibt.

Ein Produkt kann keine "Elemente enthalten", wie du es schreibst.

Und nein, ich habe genau erklärt, was ein Produkt von Primzahlen ist. So ist es auch in der Mathematik definiert, das wird dir jeder sagen können. Mathematik lebt davon, einfache Notationen für einfache Sachverhalte einzuführen, sonst werden die Dinge irgendwann abartig kompliziert gemacht, obwohl sie es gar nicht sind. Ergo, man verliert sich in Details.

Den Hauptsatz der Arithmetik könnte man dann z.B. auch so formulieren:

Zitat:
Sei eine natürliche Zahl, die keine Primzahl ist. Dann lässt sich (bis auf Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben, d.h. ,
wobei und Primzahlen sind.


Ich habe mal alle Sachen in rot markiert, die man normalerweise weglässt. Aus mehreren Gründen:

  • Man bekommt so eine Aussage, die für alle natürlichen Zahlen > 1 gültig ist, nicht nur für zusammengesetzte Zahlen. Die Aussage ist also stärker, allgemeiner.
  • Natürlich kann man auch schreiben , das heißt aber nicht, dass die Aussage oben falsch ist, wenn man den Zusatz "bis auf Reihenfolge" weglässt. Man verständigt sich eben darauf.
  • Man verliert den Fokus für das Wesentliche.
  • Man sollte Sachen nicht komplizierter machen als sie sind.


Wer den Lolli bekommen soll, ist doch egal. Augenzwinkern Ich frage mich nur, wieso du wegen so einer Kleinigkeit einen mehrere Jahre alten Thread hochholst.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kessl
Aber nochmal, ein Produkt von Primzahlen muss mindestens 2 Elemente enthalten, andernfalls nenne es ein Produkt aus (beliebig vielen) Elementen der Menge der Primzahlen.


Seriously? LOL Hammer
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