Integration - Wurzel substituieren

23.07.2012, 12:15

Joschka

Integration - Wurzel substituieren

Meine Frage:
Zu berechnen ist das folgende Integral (Ich lass die Grenzen jetzt mal weg, weil uninteressant.): $\begin{eqnarray*} \int \frac{3x+5}{\sqrt{x+2}} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Jezt würde ich rein intuitiv $\begin{eqnarray*} u = x+2 \end{eqnarray*}$ substituieren, womit sich dx = du ergibt und mein integral so aussieht $\begin{eqnarray*} \int \frac{u-2}{\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$ . Dieses integral laesst sich auch relativ einfach durch Ausklammern von $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ im Zaehler berechnen.

Jetzt weiss ich aber dass auch eine Loesung existiert, wo die gesamte Wurzel, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$ ersetzt wird. Dabei berechnet man dann irgendwie nicht die Ableitung von der wurzel sondern von $\begin{eqnarray*} x = z^2 - 1 \end{eqnarray*}$ . Leider habe ich die Loesung verloren. Ich hoffe ihr koennt mir bei der Herleitung helfen smile

23.07.2012, 12:23

Joschka

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uuups da ist der Fehlerteufel unterlaufen. Es müsste heissen $\begin{eqnarray*} x = u^2-2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x = z^2-1 \end{eqnarray*}$

23.07.2012, 12:26

shipwater

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RE: Integration - Wurzel substituieren
Hallo,

Zitat:

Original von Joschka
$\begin{eqnarray*} \int \frac{u-2}{\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Und schreib bitte immer die Differentiale dazu.
Wenn man nun stattdessen am Anfang $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$ substituiert so ist das ja gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} t^2=x+2 \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich also $\begin{eqnarray*} 2tdt=dx \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=t^2-2 \end{eqnarray*}$ . Schaffst du den Rest nun selbst?

Gruß Shipwater

23.07.2012, 12:33

Joschka

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Dann müsste ich also folgendes Integral berechnen $\begin{eqnarray*} \int \frac{3(t^2-2)+5}{t} \cdot 2t dt \end{eqnarray*}$

23.07.2012, 12:37

shipwater

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Genau.

23.07.2012, 12:43

Joschka

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Gut, nochmmal wie ich auf die erste substitution gekommen bin:

ich setzte $\begin{eqnarray*} t = x+2 \end{eqnarray*}$ . dann habe ich $\begin{eqnarray*} dt = dx \end{eqnarray*}$ weil die ableitung ist 1. mit $\begin{eqnarray*} x = t - 2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich das folgende Integral: $\begin{eqnarray*} \int \frac{3(t-2)+5}{\sqrt{t}}dt \end{eqnarray*}$ . Und jetzt seh ich auch schon meinen Fehler :P

23.07.2012, 12:51

shipwater

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Wie so oft kommt die Erleuchtung während dem Tippen Augenzwinkern

Gruß Shipwater

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