LaGrange-Verfahren

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LaGrange-Verfahren
Gegeben:
Nutzenfunktion
U(x,y)=-3x²+16-0,5y²+12x+7y

unter der Budgetrestriktion
6x+3y=93

a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes alle Kandidaten für eine lokale Extremalstelle der Nutzenfunktion U(x,y) unter der Budgetrestriktion.

b) Zeigen Sie , dass es sich bei dem in a) ermittelten Kandidaten um das nutzenmaximierende Güterbündel des Haushaltes handelt.

c) Handelt es sich bei der in a) ermittelten Stelle um die globale Maximalstelle? Begründen Sie ihre Antwort kurz.

a)
6x+3y=93 I-93 I:3
2x+y-31=0

L u (x,y)=-3x²+16-0,5y²+12x+7y + L * (2x+y-31)

dL/dx=-6x+12+2L
dL/dy=-3/2y+7+L
dL/dL=2x+y-31

Den soeben errechneten Gradienten= 0 setzen

I.
-6x+12+2L=0
<=>2+L/3=x

II.
-3/2y+7+L=0
<=>-10,5-3L/2=y

III.
2x+y-31=0
<=>-45=L

I.
2-45/3=x
x=-13

II.
-10,5-(3*(-45)/2)=y
y=57

Also L=-45, x=-13, y=57
Was ich nun nicht verstehe: Ich habe gerade eine Extremstelle berechnet. Was ich machen sollte war "alle Kandidaten für eine lokale Extremalstelle" bestimmen. Wie das geht weiß ich nicht. Sind "alle" Kandidaten für eine Extremstelle eventuell die partiellen Ableitungen in Abhängigkeit von L?
Verfälsche ich nicht das Ergebnis, dadurch das ich die Budgetrestriktion durch 3 geteilt hab?

b) Mir fällt ums verrecken kein Ansatz ein. Ich hab doch die stationäre Stelle der Nutzenfunktion unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion errechnet. Das heißt die Ableitungen sind=0
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich immernoch sehr über Tipps freuen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich mal dran versuchen Augenzwinkern .

dL/dx=-6x+12+2L
dL/dy=-3/2y+7+L
dL/dL=2x+y-31

Die Ableitung ist falsch.
Die Idee zur a ist sonst aber richtig.

Zur b). Ich glaube ich würde da mit Kompaktheit argumentieren. Ist dies bekannt? Augenzwinkern
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Ich kann mich mal dran versuchen Augenzwinkern .

dL/dx=-6x+12+2L
dL/dy=-3/2y+7+L
dL/dL=2x+y-31

Die Ableitung ist falsch.
Die Idee zur a ist sonst aber richtig.

Zur b). Ich glaube ich würde da mit Kompaktheit argumentieren. Ist dies bekannt? Augenzwinkern


dL/dy=-y+7+L

Ist die richtige Lösung.
b) Die Worte Kompakt bzw. Kompaktheit sind im kompletten Skript per pdf. Wortsuche nicht zu finden. Im Abschnitt Optimierung im R hoch P hab ich bisher auch nichts gefunden was mir weiterhelfen kann. Wenn die partiellen Ableitungen=0 sind handelt es sich eben um eine stationäre Stelle..
c) Ob es sich um eine globale Maximalstelle handelt? Da ich x,y und Lamda eindeutig bestimmen konnte muss es sich um die einzige stationäre Stelle handeln. Also ist es auch die globale Maximalstelle unter der Budgetrestriktion.

Die Sache mit der Budgetrestriktion treibt mich übrigens immernoch um. Wenn ich sie bei
6x+3y-93=0
belassen hätte, käme ein anderes Lamda bei raus..
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Gleichung durch 3 dividiert. Du hast damit eine Äquivalenzumformung gemacht.
Demnach hat das neue LGS dieselbe Lösung wie das ursprüngliche.
Wenn sich bei dir L ändert, hast du einen Fehler.



dL/dy=-y+7+L
Yup, das ist nun richtig.
Und damit x=6, y=19 (und L=12).



Die Lagrange-Multiplikatormethode liefert dir nur ein notwendiges Kriterium für eine
Extremalstelle.
Weiters sagt Lagrange aber nicht aus.
Wie ich allerdings ohne Kompaktheit sagen soll, was vorliegt verwirrt .
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du eben versuchen mit Kompaktheit zu sagen was vorliegt? Eventuell ist es bei uns unter einem anderen Begriff aufgetaucht (xyz-Theorem) es ist schließlich Hochschulunterricht, da versucht man doch immer die merkwürdigsten und schwierigsten Begriffe sich aus dem Hut zu zaubern um es wie Magie erscheinen zu lassen..
 
 
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ah gar nicht weiters drüber nachgedacht Hammer .
Kompaktheit geht hier gar nicht, da unsere Restriktion gar nicht kompakt ist.
Kompakt bedeutet, dass unsere Menge abgeschlossen und beschränkt ist.
Das ist bei uns ja nicht der Fall.

Bräuchten also ohnehin eine andere Möglichkeit...
und mir fällt gerade keine ein. Ich arbeite meist mit obigen :P.

Ich frag mal nach^^.
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die Mühe!
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Hat es vielleicht etwas mit der Hesse Matrix zu tun? Nur so ein Gedanke..
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

Equester hat mich gebeten, hier was zu schreiben.

Erstens gibt es die geränderte Hesse-Matrix. Davon hab ich noch nie was gehört ... wenn du sie auch nicht kennst, kannst du sie schlecht benutzen.

Andererseits kannst du anstatt der eigentlichen Nebenbedingung (nicht kompakt) eine kompakte betrachten, nämlich mit einem R > 0, das groß genug ist. Deine Zielfunktion ist eine Parabel, deswegen gilt für . Extrema wirst du dort nicht finden. Die Extremstellen können nicht weit außen liegen. Schränke deshalb den Bereich, aus dem die Punkte kommen dürfen, kompakt ein. Dann zieht wieder Satz vom Maximum / Minimum. Du suchst lediglich ein Maximum, das siehst du mit deiner Methode.
Headache Auf diesen Beitrag antworten »

Hej,
nochmals vielen Dank für die Mühen. Es geht mit der Hesse-Matrix.
Eine ziemlich geniale Erklärung einmal hier: www.youtube.com/watch?v=fdDuptml-2E
und morgen werd ich das angewandt auf die Aufgabe hier mal posten.
Trotzdem vielen Dank!
carm561 Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher geht es natürlich, wenn man die Nebenbedingung auflöst und in die Zielfunktion einsetzt. Das ist zumindest bei Aufgabenteil b) und c) nicht verboten Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@Headache: Das Video bezieht sich auf Funktionen ohne Nebenbedingung; da ist
die Hesse-Matrix eine beliebte Wahl.

Die Hesse-Matrix wie im Video gezeigt ist also bei uns nicht anwendbar. Da schaue auf
den Link von Cel Augenzwinkern .
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