Quadratische Gleichung - findet jemand meinen Fehler?

23.07.2012, 19:01

Mathe-Dummy

Quadratische Gleichung - findet jemand meinen Fehler?

Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit einer quadratischen Gleichung, bringt mich echt zum verzweifeln, je öfter ich es rechne, desto mehr Ergebnisse bekomme ich.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Hier mal mein aktuellster Ansatz (in Einzelschritten, damit es nachvollziehbar ist):

Zuerst Äquivalenzumformung mit $\begin{eqnarray*} \cdot (x+1) \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis erhalte ich: x+3 - $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x}{x-4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Dann Äquivalenzumformung mit $\begin{eqnarray*} \cdot (x-4) \end{eqnarray*}$

Ergebnis: x² - 4x + 3x -12 -x² +x = $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{36}{5}x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{36}{5} \end{eqnarray*}$

zusammengefasst: -12 = $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{27}{5}x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{36}{5} \end{eqnarray*}$

Dann Äquivalenzumformung mit $\begin{eqnarray*} \cdot 5 \end{eqnarray*}$ :

-60 = 9x² - 27x -36

Gleichsetzung mit Null: 0 = 9x² - 27x -36 + 60

Ergebnis: 0 = 9x² - 27x + 24 dann durch 9 teilen, um es auf die Normalform der quadr. Gleichungen zu bekommen:

0 = x² - 3x + $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt dachte ich, nutze ich die PQ-Formel mit p=-3 und q= $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-(-\frac{3}{2})\pm\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{8}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{27}{12}-\frac{32}{12}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{-\frac{5}{12}} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich in der Wurzel einen negativen Ausdruck und nach dem, was ich gelernt habe, darf ich negative Ausdrücke nicht radizieren. Ich gehe also davon aus, dass ich einen Denkfehler habe. Nur wo?

Ich hoffe, ihr werdet von der Textflut nicht erschlagen, aber ich dachte, wenn ich euch ausführlich zeige, was ich gemacht habe, wird der Fehler vielleicht offensichtlich unglücklich

Danke und viele liebe Grüße
Tini

23.07.2012, 19:06

Helferlein

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Der Fehler ist ziemlich weit oben:
"Ergebnis: x² - 4x + 3x -12 -x² +x" ist falsch. Es muss x² - 4x + 3x -12 -(x² +x) heissen.

23.07.2012, 19:10

Equester

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Hi Tini

du hast eine sehr komplizierte Art dir das aufzuschreiben Augenzwinkern

. Ist prinzipiell nicht
falsch aber stark fehlerlastig. So auch hier:

Zitat:

Original von Mathe-Dummy

Als Ergebnis erhalte ich: $\begin{eqnarray*} x+3\color{red}-\color{black}\frac{x^2+x}{x-4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Dann Äquivalenzumformung mit $\begin{eqnarray*} \cdot (x-4) \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x² - 4x + 3x -12 -x²\color{red}-\color{black}x = \frac{9}{5}x^2- \frac{36}{5}x +\frac{9}{5}x-\frac{36}{5} \end{eqnarray*}$

Beachte das Minus vor dem Bruch!

Übersichtlicher wäre es vllt in dem du dir erst mal den Hauptnenner insgesamt nimmst und mit
diesem multiplizierst Augenzwinkern

.

Edit: Hatte wohl einige Probleme mit Latex Big Laugh

23.07.2012, 22:01

Mathe-Dummy

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Huhu,

puh vielen herzlichen Dank euch beiden !!!!!

Wenn ich das falsche Vorzeichen beachte, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x² - 4x + 3x -12 -x² -x = \frac{9}{5}x^2- \frac{36}{5}x +\frac{9}{5}x-\frac{36}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 2x - 12 = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{9}{5}x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{27}{5}x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{36}{5} \end{eqnarray*}$

nach Multiplikation mit 5

$\begin{eqnarray*} - 10x - 60 = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{9}x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{27}x - 36 \end{eqnarray*}$

stelle ich dann alles auf eine Seite

$\begin{eqnarray*} 0 = 9x^2 - 17x + 24 \end{eqnarray*}$

und erhalte nach Division durch 9 die Normalform

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 - \frac{17}{9}x + \frac{24}{9} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in die PQ-Formel einsetze, komme ich aber auch irgendwie ins Schleudern, da ist noch irgendwo der Wurm drin. Ich würde mich riesig freuen, wenn einer von euch nochmal die Zeit hätte, sich das anzusehen, ich möchte es wirklich begreifen, aber ich hab das Gefühl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr zu sehen traurig

Viele liebe Grüße und einen schönen Abend
Tini

23.07.2012, 22:04

Mathe-Dummy

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uups, da ist der Code verrutscht, also nach der Multiplikation mit 5 sollte eigentlich das hier stehen:

- 10x - 60 = 9x² - 27x - 36

LG Tini

23.07.2012, 22:15

Equester

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Das ist nun richtig Freude

.

Wie du selbst sagst -> Du kannst die negative Wurzel nicht ziehen.
Das bedeutet nichts anderes, als dass es keine Lösung für dich gibt, für die die
Gleichung gültig ist Augenzwinkern

23.07.2012, 23:45

Helferlein

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zur Absicherung noch einmal eine Graphik der Funktion auf der linken Seite der Gleichung:

Es gibt keinen Schnittpunkt, also auch keine Lösung der Gleichung f(x)=9/5 Freude

23.07.2012, 23:53

Mathe-Dummy

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Huhu nochmal,

vielen lieben Dank an euch beide, das hat mir sehr geholfen. Blumen

Tini

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