bedingte Dichten (2 Versionen)

23.07.2012, 19:33

Gast11022013

bedingte Dichten (2 Versionen)

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig und standardnormalverteilt. Bestimme die bedingte Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , gegeben $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ auf zwei Wegen:

1.) Interpretiere $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} Z_1=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Z_1=Y-X \end{eqnarray*}$ . Das heißt, berechne $\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_1}(y|z_1=0) \end{eqnarray*}$ .

2.) Interpretiere $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} Z_2=1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Z_2=Y/X \end{eqnarray*}$ . Das heißt, berechne $\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_2}(y|z_2=1) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hallo! Ich weiß, dass unterschiedliche Ergebnisse herauskommen und auch, welche Ergebnisse:

1.) $\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_1}(y|z_1=0)=\exp(-y^2)/\sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_2}(y|z_2=1)=\vert y\vert\exp(-y^2) \end{eqnarray*}$

Nur leider komme ich nicht auf diese Ergebnisse resp. weiß nicht, wie ich auf sie komme.

Zu 1.)

Was mir klar ist, ist:

$\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_1\sim\mathcal{N}(0,2) \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal an, daß man nun

$\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_1}(y|z_1=0)=\frac{f_{Y,Z_1}(y,0)}{f_{Z_1}(0)} \end{eqnarray*}$

bestimmen muss.

Ich weiß aber nicht, wie man Zähler und Nenner hier bestimmt.

Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?

Wie kann man zum Beispiel die Kovarianzmatrix berechnen?

23.07.2012, 21:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} f_{Y|Z_1}(y|z_1=0)=\frac{f_{Y,Z_1}(y,0)}{f_{Z_1}(0)} \end{eqnarray*}$

bestimmen muss.

Ich weiß aber nicht, wie man Zähler und Nenner hier bestimmt.

Zähler: Transformationssatz angewandt auf Abbildung $\begin{eqnarray*} (X,Y) \to (Y,Y-X) \end{eqnarray*}$ .

Nenner: Integral des Zählers über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

24.07.2012, 00:25

Gast11022013

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Hallo, HAL 9000! Danke für die beiden Tipps. Ich versuche es.

Zitat:

Original von HAL 9000

Zähler: Transformationssatz angewandt auf Abbildung $\begin{eqnarray*} (X,Y) \to (Y,Y-X) \end{eqnarray*}$ .

Für die gemeinsame Dichte von X und Y habe ich:

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{1}{2}(x^2+y^2)\right) \end{eqnarray*}$

(Der Korrelationkoeffizient ist 0, da X und Y unabhängig sind.)

Die Transformation:

$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto (y,y-x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s:=y, z_1:=y-x \end{eqnarray*}$ .

Inverse Transformation:

$\begin{eqnarray*} (s,z_1)\mapsto (s-z_1,s) \end{eqnarray*}$

Jacobimatrix:

$\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix}1 & -1\\1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vert\operatorname{det} J\vert=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f_{Y,Z_1}(y,z_1)=f_{X,Y}(y-z_1,y)\cdot 1=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{1}{2}((y-z_1)^2+y^2)\right)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-y^2+yz_1-\frac{1}{2}z_1^2\right) \end{eqnarray*}$

Und für den Nenner nun die Randdichte bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f_{Z_1}(z_1)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{Y,Z_1}(y,z_1)\, dy=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-y^2+yz_1-\frac{1}{2}z_1^2\right)\, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{z_1^2}{2}\right)\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(yz_1-y^2\right)\, dy \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Resultate bis hierher?

Wenn ja: Wie kann ich das Integral nun lösen? Kann ich dafür noch Tipps bekommen?

Viele Grüße!

Dennis

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