Finden aller Homomorphismen

24.07.2012, 10:57

MatheMushroom

Finden aller Homomorphismen

Hallo zusammen

die gegebenheiten:

Definition Homomorphismus:
Für zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} (G,+) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (H,*) \end{eqnarray*}$ , ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus falls folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in G: \varphi(a+b) = \varphi(a)*\varphi(b) \end{eqnarray*}$

Desweiteren: Sei $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} ord(\varphi(x)) | ord(x) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe:

Finde alle Homomorphismen $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Z}_9; \oplus) \rightarrow (\mathbb{Z}_{12}; \oplus) \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:
Habe ich leider noch keinen, da ich nicht weis wie ich beginnen soll...

Ich hoffe ihr könnt mir einen Hinweis geben wie ich am besten Starte.

Gruss

MatheMushroom

24.07.2012, 11:16

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Finden aller Homomorphismen
ord(f(1)) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{12} \end{eqnarray*}$ muss Teiler von ord(1) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_9 \end{eqnarray*}$ , also dann von 9 sein... Da es aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{12} \end{eqnarray*}$ keine Elemente der Ordnung 9 gibt (warum nicht?), muss ord(f(1)) sogar Teiler von 3 sein...

24.07.2012, 13:13

MatheMushroom

Auf diesen Beitrag antworten »

In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{12} \end{eqnarray*}$ gibt es wegen dem Satz von Lagrange keine Elemente der Ordnung neun.

Somit sind Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{12} \end{eqnarray*}$ mit Ordnung 1 und Ordnung 3 gefragt (richtig?)

Ordnung 3: 4,8
Ordnung 1: 0

also muss man 1 auf die jeweiligen elemente mappen.

sind dann die drei homomorphismen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = R_{12}(4*x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = R_{12}(8*x) \end{eqnarray*}$ ?

Dass dies alle Homomorphismen sind lässt sich damit begründen, dass es nur 3 Elemente gibt auf die man 1 mappen kann. Würde es theoretisch auch funktionieren wenn ich statt 1 einen anderen Generator der Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}_{9},\oplus) \end{eqnarray*}$ nehmen würde??

24.07.2012, 14:55

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheMushroom
sind dann die drei homomorphismen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = R_{12}(4*x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = R_{12}(8*x) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du mit letzteren beiden Homomorphismen die Abbildungen $\begin{eqnarray*} x \mapsto 4x \mod 12 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \mapsto 8x \mod 12 \end{eqnarray*}$ meinst, so liegst du richtig... Freude

Zitat:

Original von MatheMushroom
Würde es theoretisch auch funktionieren wenn ich statt 1 einen anderen Generator der Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}_{9},\oplus) \end{eqnarray*}$ nehmen würde??

Klar doch... Augenzwinkern

24.07.2012, 20:58

MatheMushroom

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Wenn du mit letzteren beiden Homomorphismen die Abbildungen $\begin{eqnarray*} x \mapsto 4x \mod 12 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \mapsto 8x \mod 12 \end{eqnarray*}$ meinst, so liegst du richtig... Freude

genau die abbildungen habe ich gemeint Big Laugh

danke für die schnelle hilfe Big Laugh

gruss

MatheMushroom

Neue Frage »

Antworten »

Finden aller Homomorphismen

Verwandte Themen