Spektralnorm

24.07.2012, 11:00	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralnorm Meine Frage: morgen für ein $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray}$ gilt ja die spektralnorm $\begin{eqnarray} \\| A \\|_2 = \max_{1\leq j\leq n}\sqrt{\lambda_j} \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} \lambda_j \end{eqnarray}$ die eigenwerte von $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ sind. Was ist aber wenn es nur negative eigenwerte gibt? Z.b. $\begin{eqnarray} \{-5,-2\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ist dann die spektralnorm $\begin{eqnarray} \sqrt{-2}=i\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ?
24.07.2012, 13:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm Das kommt nicht vor, denn $\begin{eqnarray} A^{\mathrm T}A \end{eqnarray}$ ist positiv semidefinit: $\begin{eqnarray} \langle A^{\mathrm T}Ax,x\rangle=\langle Ax,Ax\rangle\geq0 \end{eqnarray}$ (für injektives $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ also sogar positiv definit). Deswegen sind die Eigenwerte auch alle größer oder gleich 0: $\begin{eqnarray} A^{\mathrm T}Ax=\lambda x\Rightarrow\langle A^{\mathrm T}Ax,x\rangle=\lambda\underbrace{\langle x,x\rangle}_{\gneq0}\geq0. \end{eqnarray}$ mfg, Ché Netzer Edit: $\begin{eqnarray} \mathrm i\sqrt2 \end{eqnarray}$ kann die Norm generell nicht sein, da eine Norm immer reell und nichtnegativ ist.
24.07.2012, 17:04	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm danke Che Netzer. Was ist das für ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? Ist das ein element der urbildmenge der abbildung $\begin{eqnarray} A: \mathbb K_1^n \to \mathbb K_2^n,\ x\mapsto Ax \end{eqnarray}$ ? Gibt es eig auch matrizen, die abbildungen zwischen vektorräumen von matrizen beschreiben?
24.07.2012, 17:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm Ja, das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stammt einfach aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Zu der Frage mit den Matrizen: Mehr oder weniger. In dem Sinne von Darstellungsmatrizen ist das nicht möglich, nein. Aber man könnte die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n\times m}\to\mathbb R^{k\times m}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\mapsto BA \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B\in\mathbb R^{k\times n} \end{eqnarray}$ definieren. Allgemeine lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen lassen sich aber nicht durch Matrizenmultiplikation beschreiben. Alleine schon $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lässt sich nicht dadurch beschreiben.
24.07.2012, 17:23	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm ok gut =) dankeschön

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