Integral Exp und sphärische Besselfunktion

24.07.2012, 20:50	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Exp und sphärische Besselfunktion Hallo, ich will folgendes Integral analytisch berechnen, $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \left( x^2 + \frac{3x}{a} + \frac{3}{\left(a\right)^2} \right) \frac{\ exp{\left(-a\cdot x\right)} } {ax} J_2(qx) dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} J_2(qx) \end{eqnarray}$ die 2.sphärische Besselfunktion ist. Ich kann dieses Integral mit Mathematica berechen, als Ergebniss bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{-q^2}{a^3 (q^2+a^2)} \end{eqnarray}$ , was meinen gewünschten Ergebniss entspricht. Meine einzige Idee bisher war, $\begin{eqnarray} J_2(qx)/x = 5q (J_1(qx) + J_3(qx)) \end{eqnarray*}$ aber dann komm ich auch nicht weiter... Kann mir einer einen Denkanstoß geben?
25.07.2012, 09:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass du etwas verwechselst? Die Besselfunktionen $\begin{eqnarray} J_0, J_1, J_2,... \end{eqnarray}$ mit ganzzahligem Index lassen sich bekanntlich nur durch Reihen ausdrücken. Dagegen haben die sphärischen Besselfunktionen $\begin{eqnarray} J_{1/2}, J_{3/3},J_{5/2}... \end{eqnarray}$ einen halbzahligen Index. Letztere besitzen den Vorteil, dass man sie durch elementare Funktionen ausdrücken kann. Sie treten übrigens bei der Lösung der Poissongleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=-f \end{eqnarray}$ auf, wenn das Gebiet eine Kugel ist (daher der Name "sphärisch"). Die sphärischen Besselfunktion sind z.B. im Bronstein Kapitel 3.3.1.3.4. tabelliert. Ich schreibe dir mal einige ab: $\begin{eqnarray} J_{1/2}=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\cdot \sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J_{3/2}=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\cdot \left [\tfrac{1}{x}\cdot \sin(x)-\cos(x) \right ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J_{5/2}=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\cdot \left [\left ( \tfrac{3}{x^2}-1 \right )\cdot \sin(x)-\tfrac{3}{x} \cdot \cos(x) \right ] \end{eqnarray}$ ... Eventuell meinst du mit "2.sphärische Besselfunktion" die Funktion $\begin{eqnarray} J_{3/2} \end{eqnarray}$ . Dann könnte man dein Intgegral eventuell einfacher mit partieller Intgeration lösen und muss nicht die Rekursivformeln der Besselfunktionen benutzen. Gib das mal bei MATHEMATICA ein.
25.07.2012, 13:48	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Physik haben wir die immer $\begin{eqnarray} J_2 \end{eqnarray}$ genannt, aber ich meinte die Funktion, welche hier definiert http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_func...tions:_jn.2C_yn sind. Aber danke für den Tipp ich werde jetzt mal partialer Integration probieren.

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