Entwicklungspunkt einer Potenzreihe verschieben

24.07.2012, 21:51

ilk

Entwicklungspunkt einer Potenzreihe verschieben

Hi,

angenommen ich habe eine Potenzreihe mit Konvergenzradius unendlich, also $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$ konvergiert für alle x.

Jetzt möchte ich die dadurch bestimmte Funktion um einen anderen Punkt, sagen wir x_0, entwickeln. Mein naiver Ansatz ist erstmal

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0+x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x_0^k(x-x_0)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Jetzt "sammel" ich für ein festes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^m \end{eqnarray*}$ ein und stell die Summe dann um, und es kommt heraus
$\begin{eqnarray*} \dots=\sum_{m=0}^\infty\left[\sum_{k=0}^\infty a_{m+k}\binom{m+k}{k}x_0^k\right](x-x_0)^m \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: Ist diese letzte Umformung zulässig?

edit: Problem gelöst
Sie zumindest dann zulässig, wenn ich weiß, dass es irgendeine Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ gilt. Dann kann man in der ersten Potenzreihe einfach gliedweise Ableiten, x_0 einsetzen, und man sieht dass es passt.

10.03.2016, 13:39

Imladris

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Hallo ilk,

nachdem du dich ja schon vor einer Weile mit diesem Thema beschäftigt hast, hatte ich die Hoffnung, du hast dir evtl sogar noch ein paar mehr Gedanken gemacht. Hast du dir damals zufällig auch überlegt, wie sich das verhält, wenn der Konvergenzradius nicht unendlich ist. Muss dieser dann mit dem neuen Enwicklungspunkt neu bestimmt werden, oder gibt es einen rechnerischen Zusammenhang zum vorherigen Konvergenzradius (ich könnte mir zum Beispiel gut vorstellen, dass, wenn z.B. vorher ein Konvergenzradius von 1 war und wir jetzt um 0.25 verschieben, der neue Konvergenzradius 0.75 ist - aber das ist wild geraten^^)?
Ich habe mir eben überlegt: Bekannt ist, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim \sup_{n \rightarrow \infty} (|a_{n}|)^{\frac{1}{n}}} = r \end{eqnarray*}$
Unser neuer Radius wäre ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim \sup_{n \rightarrow \infty} (|\sum_{k=0}^{\infty} a_{m+k}\binom{m+k}{k}x_{0}^{k}|)^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$
und an der Stelle bin ich dann unsicher, wie ich weiter vorgehen könnte. Um das zu nutzen, was ich über unseren vorherigen Konvergenzradius wusste, müsste ich ja a irgendwie aus der Summe bekommen - kann man da so vorgehen wie du vorher nur "rückwärts"?

11.03.2016, 13:20

Imladris

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So, ich habe das jetzt einfach mal mit einer Potenzreihe probiert, bin aber eher unglücklich über mein Ergebniss...
ich habe mir den ln(x+1) genommen, von dem ich meines Wissens weiß, dass der Konvergenzradius 1 ist. Somit
$\begin{eqnarray*} \ln(1+x) = - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}y^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray*}$
jetzt verschiebe ich das, sagen wir um 0.5:
$\begin{eqnarray*} = - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k+1}(y - 0.5 + 0.5)^{k+1} = - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k+1} \sum_{n=0}^{k+1} \binom{k}{n} (y - 0.5)^{n}0.5^{k+1-n} \end{eqnarray*}$
bzw. ums mal einfacher zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} = - \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sum_{n=0}^{k} \binom{k}{n} (y-0.5)^{n}0.5^{k-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_{k}=\frac{(-1)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$
oder noch einfacher
$\begin{eqnarray*} = - \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sum_{n=0}^{k} c_{n,k}(y-0.5)^{k-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_{n,k}=\binom{k}{n} 0.5^{k-n} \end{eqnarray*}$
Indem ich das Ganze genauer anschaue komme ich auf
$\begin{eqnarray*} - \sum_{k=0}^{\infty}(y-0.5)^{k} \sum_{i=k}^{\infty}b_{i}c_{k,i} \end{eqnarray*}$
Damit habe ich ja die gewünschte verschobene Form. Um jetzt den Konvergenzradius zu betrachten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim \sup_{k \rightarrow \infty} (|\sum_{i=k}^{\infty}b_{i}c_{k,i}|)^{\frac {1}{k}}} \end{eqnarray*}$
und jetzt werde ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\lim \sup_{k \rightarrow \infty} (|b_{k}c_{k,k}|)^{\frac {1}{k}}}<br /> <br /> = \frac{1}{\lim \sup_{k \rightarrow \infty} (|\frac{1}{k}|)^{\frac {1}{k}}} = \infty \end{eqnarray*}$

Was ja irgendwie seltsam wäre, wenn durch das verschieben der Radius unendlich wird... Sieht jemand den Fehler? Bzw. darf ich an der Stelle oben tatsächlich so umformen, wie ich das gemacht habe? Wenn nicht, wie müsste ihc sonst weiter umformen?

12.03.2016, 10:39

Imladris

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ich glaube ich habe (durch "numerisches Probieren"^^) meinen Fehler gefunden:
$\begin{eqnarray*} (k)^{\frac {1}{k}} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Das müsste man jetzt "nur" noch mathematisch (mit epsilon-delta-Kriterium?) beweisen fürchte ich.
Damit hätte ich wieder einen Konvergenzradius von 1. Sieht jemand von euch noch einen weiteren Fehler in meiner Rechnung?

12.03.2016, 11:30

Imladris

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Sorry, dass ich hier so Selbstgespräche führe Augenzwinkern

hab inzwischen gesehen, dass der Beweis der Konvergenz der nten Wurzel aus n hier auch zu finden ist smile

Allerdings kam mir dafür eine Überlegung:

Egal wohin ich meinen Entwicklungspunkt oben verschieben würde, das würde am Konvergenzradius nichts ändern (da durch das k-k im Exponenten die Verschiebung immer verschwindet...). Aber damit könnte ich ja sogar in den Rand des alten Konvergenzradiuses verschieben ohne dass sich mein neuer Konvergenzradius ändert - sollten da nicht ganz böse Dinge geschehen?

12.03.2016, 15:51

IfindU

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Zitat:

Original von Imladris
Ich habe mir eben überlegt: Bekannt ist, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim \sup_{n \rightarrow \infty} (|a_{n}|)^{\frac{1}{n}}} = r \end{eqnarray*}$
Unser neuer Radius wäre ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim \sup_{n \rightarrow \infty} (|\sum_{k=0}^{\infty} a_{m+k}\binom{m+k}{k}x_{0}^{k}|)^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$
und an der Stelle bin ich dann unsicher, wie ich weiter vorgehen könnte.

Wenn man es an der Stelle auswerten will, kann man zumindest schnell grob schätzen welche Größenordnung man bekommt.

Aus dem oberen bekommt man, dass $\begin{eqnarray*} |a_n| \approx r^{-n} \end{eqnarray*}$ ist. Weiter ist $\begin{eqnarray*} \binom{m+k}k \approx \frac { m^k } {k!} \end{eqnarray*}$ . Damit ist
$\begin{eqnarray*} |\sum_{k=0}^{\infty} a_{m+k}\binom{m+k}{k}x_{0}^{k}| \approx\sum_{k=0}^{\infty} r^{-m-k} \frac { (m|x_{0}|)^{k}}{k!} \approx r^{-m} \exp ( |mx_0| ) \end{eqnarray*}$ .

Folglich
$\begin{eqnarray*} \limsup_{m \to \infty} |\sum_{k=0}^{\infty} a_{m+k}\binom{m+k}{k}x_{0}^{k}|^{1/m} \approx \frac { e^{|x_0|}}r \end{eqnarray*}$ , insbesondere ist der neue Konvergenzradius eher kleiner wird. Nun ist das oben als qualitative untere Schranke für den Konvergenzradius zu sehen als wirklich eine Approximation. Hauptsächlich gemacht, damit du siehst wie schnell es kompliziert wird wenn man versucht damit zu arbeiten. Im Normalfall sind die Umformungsschritte bei der Verschiebung des Entwicklungspunktes nur dann gültig, wenn man im Konvergenzbereich arbeitet, und da man dann auch natürlich zurückgehen kann, kann man sich das hier sparen.

Falls du einen Beweis der Verschiebungssatzes nachlesen willst, so findet er sich z.B. in Harro Heusers Analysis 1 Lehrbuch als Satz 63.4.

14.03.2016, 08:39

Imladris

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sehr cool, danke! Dann schau ich da auch mal rein smile

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