Graph ist abgeschlossen

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Topologos Auf diesen Beitrag antworten »
Graph ist abgeschlossen
Hallo Leute, ich habe mir was überlegt, aber bin mir nicht sicher, ob es stimmt.

Seien X,Y top. Räume und f eine stetige Abbildung von X nach Y.
Nun habe ich bewiesen (ich hoffe, dass der Beweis stimmt), dass der Graph von f in bezüglich der Produkttopologie abgeschlossen ist, falls Y ein T3-Raum ist.
Stimmt dieses Resultat? Bin einfach von keinen Voraussetzungen ausgegangen und an einer Stelle kam ich nicht weiter, ohne zu fordern, dass Y ein T3-Raum ist.
Falls es stimmt: Geht es vielleicht noch besser? Muss ich eventuell noch weniger fordern?

Danke!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Es ist ausreichend, wenn Y Hausdorff'sch ist - in einem gewissen Sinn ist das sogar auch notwenig. Genauer könntest du folgendes beweisen:

Zitat:
Sei Y topologischer Raum. Es sind äquivalent:
  • Für jeden topologischen Raum X und jede stetige Funktion ist der Graph abgeschlossen.
  • Y ist Hausdorff


Für die Rückrichtung würde ich zeigen, dass das Komplement des Graphen offen ist. D.h. zu kann man eine Umgebung finden, so dass .

Für die Hinrichtung betrachte X=Y und ein relativ einfach gestricktes f.

smile
Topologos Auf diesen Beitrag antworten »

1000 Dank! Geiles Result muss ich sagen. Immer wieder neue Charakterisierungen von T2.

Das war ja easy, obwohl ich die Rückrichtung gestern auf genau die gleiche Weise versuchte, ich habe mir nur die zwei disjunkten Umgebungen über T3 statt T2 konstruiert, keine Ahnung, wieso ich hier nicht gleich sah, dass das ja eigentlich T2 ist.

Hier mein Beweis:

Rückrichtung:
Sei also (x,y) aus dem Komplement des Graphen. Also ist . Nun suchen wir uns zwei offene diskunkte Umgebungen von y und y' (T2). Also gilt und . Wegen der Stetigkeit finden wir eine Umgebung V von x mit . Also gilt .

Hinrichtung:
Einjeder weiß, ein Raum Y ist genau dann T2, wenn die Diagonale in abgeschlossen ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so hätte ich mir das auch gedacht. Freude
Topologos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Genau so hätte ich mir das auch gedacht. Freude


Freut mich.
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