Zusammenhang von Teilmengen

25.07.2012, 09:12	Topologos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang von Teilmengen Offiziell definiert man den Zusammenhang ja erst einmal für den gesamten topologischen Raum. Dann sagt man, dass eine Teilmenge zusammenhängend ist, wenn sie bezüglich der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. Was ich mich nun frage: In den ganzen Beweisen, in denen man nun den Zusammenhang von $\begin{eqnarray} A\subseteq X \end{eqnarray}$ zeigen möchte, zeigt man, dass für offene Mengen $\begin{eqnarray} O_1, O_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\subseteq O_1 \cup O_2 \end{eqnarray}$ schon $\begin{eqnarray} A\subseteq O_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A\subseteq O_2 \end{eqnarray}$ gilt. Müsste man nicht aber eigentlich etwas schwächere Bedingungen an die Os stellen, nämlich: $\begin{eqnarray} A\cap O_1 \cap O_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ ? Falls tatsächlich $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ ausreichen sollte, dann müsste man das doch erst beweisen, oder? Das ist aber nicht trivial möglich, denn wenn ich den Schnitt der Os von ihnen entferne, sind sie ja vielleicht nicht mehr offen.
25.07.2012, 13:45	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Das siehst du absolut richtig. In der Tat könntest du dir mal ein Beispiel ausdenken, wo A nicht zusammenhängend ist, aber wo für alle offenen Mengen $\begin{eqnarray} O_1, O_2\subseteq X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\subseteq O_1 \cup O_2 \end{eqnarray}$ trotzdem $\begin{eqnarray} A\subseteq O_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A\subseteq O_2 \end{eqnarray}$ gilt. (Falls dein Prof./Buch das mit den offenen Mengen tatsächlich in der Art und Weise macht, wie du das schilderst, dann ist das nicht nur schlampig, sondern schlichtweg falsch...) Tipp: Für ein Gegenbeispiel reicht schon eine 4-punktige Menge.
25.07.2012, 16:56	Topologos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Aufklärung, mit deinem Hinweis habe ich natürlich ein Gegenbeispiel gefunden, ich schaffe es sogar mit nur drei Elementen Sei X={a,b,c} ausgestattet mit der Topologie {{},{a},{a,b},{a,c},X}. Sei A={b,c}. Dann ist A sicherlich nicht zusammenhängend, da {b} und {c} in der Teilraumtopologie offen sind. Für eine disjunkte zweimengige offene Überdeckung von A reicht es aber nicht aus, wie sofort ersichtlich ist. Das werde ich dem Prof. auf jeden Fall mal wissen lassen.
25.07.2012, 21:33	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Ich hatte daran gedacht einen weiteren isolierten Punkt hinzuzufügen, damit es zwei nichtleere offene disjunkte Mengen gibt (deshalb 4), aber das braucht man natürlich nicht unbedingt. Grüsse

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