Schwerpunkt berechnen

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25.07.2012, 11:59	Test2	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt berechnen Hallo, Ich versuche gerade, den Schwerpunkt zwischen 2 Flächen zu bestimmen aber komme überhaupt nicht vorran. Hat jemand ein gutes Beispiel, wo das vernüftig erklärt wird? Danke!
25.07.2012, 13:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt berechnen Hallo, wovon redest du überhaupt? Was soll ein Schwerpunkt zwischen zwei Flächen sein? Der Schwerpunkt eines Körpers, der von zwei Flächen eingeschlossen wird? mfg, Ché Netzer
25.07.2012, 17:53	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
einer Fläche kann man auch einen Schwerpunkt zuordnen.Siehe Dreieck. 2 endliche Flächen im Raum besitzen jeweils einen Schwerpunkt. Der gemeinsame Schwerpunkt ist das gewichtete Mittel der Schwerpunkte, wobei die Gewichte die Flächenmasszahlen sind. Falls das gemeint sein sollte.
26.07.2012, 00:43	Test2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ich habe mich etwas unglücklich ausgedrückt, entschuldigung! Hier einfach mal die Aufgabenstellung: Wo liegt der Schwerpunkt der von den Parabeln y=-x² und g = 2-3x² begrenzte Fläche? Ich habe zwar schon eine Formel dazu gefunden (im Bartsch) aber die Anwendung klappt nicht
26.07.2012, 00:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern klappt die Anwendung denn nicht? Führe uns doch mal deine Rechnung vor, dann können wir dir auch helfen.
26.07.2012, 22:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
warum hast du die Formel nicht gepostet? zuerst braucht man den Flächeninhalt. Dann kann man weitersehen.
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27.07.2012, 01:52	Test2	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Flächeninhalt habe ich schon berechnet. von -1 bis 0 ist der Betrag 4/3 genau so wie auf der Seite 0 bis 1. Insgesamt also 8/3. Mir ist bewusst, dass ich den Flächeninhalt benötige aber ich weiss leider nicht, wie mir das weiterhilft? Im Bartsch halt Moment 1. Grades durch Länge, Fläche oder Volumen. Die Fläche hätte ich bestimmt aber was ist der Moment 1. Grades?
27.07.2012, 01:54	Test2	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz sollte eig. heißen: Im Bartsch steht folgendes: Moment 1. Grades durch Länge, Fläche oder Volumen.
27.07.2012, 02:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hattest du Momente schonmal in der Stochastik? Dort hat man grob formuliert eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und das erste Moment (auch als Erwartungswert bekannt!) von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \int_M xp(x)\mathrm dx \end{eqnarray}$ . (Für den zweiten Moment würde man dann $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ einsetzen) Hier ist es ähnlich: Die "Dichte" auf der Fläche ist konstant 1: überall gleich. Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte teilen wir diese durch das Volumen/den Flächeninhalt. Für unsere Fläche $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ mit Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A=\tfrac83 \end{eqnarray}$ gilt dann also $\begin{eqnarray} \int_F\tfrac1A\mathrm dx=1 \end{eqnarray}$ . Zur Berechnung der Fläche hast du ja diese Dichtefunktion (konstant 1) über die gesamte Fläche integriert: $\begin{eqnarray} A=\int_{-1}^1(g(x)-f(x))\mathrm dx=\int_{-1}^1\int_{f(x)}^{g(x)}1\mathrm dy\mathrm dx=\int_F1\mathrm dr \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f(x)=2-3x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=-x^2 \end{eqnarray}$ . Ich habe hier $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ als Variable verwendet, um nicht mit dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu verwechseln. Jetzt multiplizieren wir (wie beim ersten Moment/Erwartungswert) die Dichtefunktion mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , d.h. der Koordinate des Schwerpunkts, die wir als erstes berechnen wollen. Zur Normierung teilen wir aber noch durch die Fläche. Stochastisch lässt sich das auch erklären: unsere "Dichte" (konstant 1) geteilt durch den Flächeninhalt ergibt ja über die gesamte Fläche integriert wieder 1, ist also eine sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte. Und die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Koordinate des Schwerpunkts ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , d.h. der Ort, der für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ "erwartet wird", das passt hoffentlich zur Vorstellung von einem Schwerpunkt. Jedenfalls sieht die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Koordinate des Schwerpunkts dann so aus: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}S_x&=\int_Fx\mathrm dr=\int_{-1}^1\int_{f(x)}^{g(x)}x\tfrac1A\mathrm dy\mathrm dx=\frac1A\int_{-1}^1x(g(x)-f(x))\mathrm dx\\&=\frac1A\int_{-1}^1\Bigl(x(2-3x^2)-x(-x^2)\Bigr)\mathrm dx=\frac1A\int_{-1}^1(2x-2x^3)\mathrm dx=\tfrac0A=0,\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ was auch stark zu erwarten war, da die Fläche symmetrisch zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse ist. Der interessante Teil ist die Bestimmung der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Koordinate des Schwerpunkts. Das führe ich jetzt natürlich nicht vor
01.08.2012, 13:08	Test2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die sehr gute Erklärung. Wir haben bei der Berechnung von sy = 0,6 bzw. 3/5 raus. Stimmt das so?
01.08.2012, 14:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das dürfte stimmen. Den Punkt kannst du dir auch auf Dopaps Skizze veranschaulichen; da liegt er auch schön mittig. (Mir fällt gerade auf, dass ich oben $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ vertauscht habe... Naja, die "obere" Funktion soll halt die obere Integrationsgrenze sein)

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