Vektor-Höhenunterschied 2 Flugzeuge |
| 25.07.2012, 18:17 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektor-Höhenunterschied 2 Flugzeuge Seid gegrüßt, könnt ihr mir bitte bei diesem Vektorenbeispiel helfen. Ein Pilot folgt dem Leitstrahl des Instrumentenlandesystems ILS. Der Flugplatz liegt in der x-y-Ebene, der Leitstrahl führt das Flugzeug entlang X = (300, -9750, 828) + t (-2, 72, -6) Die Zahlenangaben sind Meterangaben, der Parameter t entspricht der Zeit in Sekunden. Ein zweites Sportflugzeug ist ebenfalls im Bereich des Flughafens. Es startete zum Zeitpunkt t = 10 in P = (58, -2004, 0) und fliegt mit Geschwindigkeit v = (2, -30, 4) e) Zeige, dass beide Kurse sich nicht schneiden: F1, Lufthansa, Gerade g Aufstellen der Gerade für F2 (Sportflugzeug), Gerade h : Stimmt das ? h: t = 10 : (58,-2004,0) + (-10) *(2,-30,4) = (38,-1704,-40) P = (58,-2004,0); Q =(38,-1704,-40); Richtungsvektor: QP = (20,-300,40) Gerade F2: h: X = (38,-1704,-40) + s (20,-300,40) Gleichsetzen Gerade: F1 = F2 ... falsche Aussage, windschief f) Höhenabstand der Flugrouten im Kreuzungspunkt Berechne, in welchem Höhenabstand die beiden Flugrouten einander kreuzen; Lösung: 146 Ansatz: Formel Abstand windschiefer Geraden: d (g,h) = | AB * (axb)0| Ergebnis: 56,64 anstelle von 146; Vermutlich ist der Höhenabstand nicht der minimale Abstand zwischen F1,F2. Aber wie berechnet man das dann ? Dank im Voraus Grüße Karl |
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| 25.07.2012, 20:58 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
doch, das ist der minimale Abstand der Flougrouten. Der minimale Abstand den die Flieger erreichen ist auf jeden Fall grösser und muss mit analytischen Methoden bestimmt werden. Falls du das im Hinterkopf hattest. |
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| 25.07.2012, 20:58 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vektor-Höhenunterschied 2 Flugzeuge Hm, nachdem nach den Flugrouten gefragt ist, spielt die Zeitdifferenz keine Rolle... Das Sportflugzeug F2 startet in P mit Richtung v, also beschreibt P den Ortsvektor und v den Richtungsvektor. Stelle F2 auf! Der Höhenabstand wird in Richtung (0,0,1) gemessen. Mit Deiner Schreibweise F1 + r*(0,0,1) = F2 Kommst Du damit zurecht? |
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| 25.07.2012, 22:18 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
25.7.2012 Hallo allesamt, Dank an Hawe. F1: X = (300, -9750, 828) + t (-2, 72, -6) F2 wäre demnach: (300, -9750, 828) + (2,-30,4)*(0,0,1); F2 = (300, -9750, 832) + t (2,-30,4) eingesetzt in die Formel für windschiefe Geraden ergäbe sich ein Abstand von 2.45. Ausgehend von den Flugrouten hätte F1 eine Höhe von 828 und F2 832. Oder ? Ich hätte gern den Abstand im Kreuzungspunkt, den ich nicht ermitteln kann und mit GeoGebra ungefähr bei einer z-Höhe von 601 wäre - je nach Ansicht. Kannst du mir bitte noch Hinweise geben. Gruß Karl |
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| 25.07.2012, 22:32 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, nichts von dem... Eine Gerade wird durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor beschrieben. Ich habe in meinem letzten Post klar ausgedrückt wie sich F2 zusammensetzt. Jetzt wanderst entlang F1 bis zu einem Punkt (300-2*t,72*t-9750,828-6*t) von dem aus senkrecht nach oben (0,0,r) bis Du auf die Gerade F2 triffst. Das sind drei Gleichungen (aus den Koordinaten meiner Gleichung von letztem Post) in den Laufparamtern (sagen wir t,r,l von F2) der beteiligiten Vektorkette... Bestimme t,r,l - r gibt dann die Höhendifferenz an |
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| 25.07.2012, 22:34 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also mal Klartext: 1.) der minimale Abstand der Flugbahnen ist der Abstand windschiefer Geraden. 2.) der minimale Abstand der Flugzeuge auf Ihrer Bahn ist eine andere Geschichte. nochmals: geht es 1.) oder um 2.) ??? oder 3.) um was geht es überhaupt ?? ist darauf eine Antwort möglich? |
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| 25.07.2012, 23:51 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, ich beziehe mich auf die Fragen e) und f), das ist das Fettgedruckte, im Ursprungspost. e) scheint ja klar zu sein, wenn wir den Kurs des Sportflugzeuges mal haben, zu f) hab ich Hinweise gegeben Da steht weder was von 1) noch 2)... Was unter a) bis d) gefragt wurde hat Karl Loewenherz noch nicht verraten, oder? BTW: Ich bekomme allerdings eine Höhendifferenz von 148m heraus. Schaun mer mal... |
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| 26.07.2012, 02:49 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
26.07.2012 Gruß an alle, insbesondere an Hawe Vielen, vielen Dank für die Hinweise und insbesondere für den Begriff „Vektorkette“ und die Fragestellung von Dopap „Worum geht es überhaupt?“ Recherchen im Internet haben ergeben, dass man den Abstand windschiefer Geraden entweder mit einer Hilfsebene oder mit einer Vektorenkette ermittelt. Bei dem Beispiel handelt es sich um ein älteres Maturabeispiel von früheren Jahrgängen, das wir freiwillig in den Ferien rechnen können. Das Basiswissen hiefür wurde vermutlich im damaligen Unterricht behandelt, bei uns allerdings nicht. Die Hinweise waren – wie immer beim Matheboard – SICHER !!!! PERFEKT!!!!, sofern das Basiswissen vorhanden ist. Ohne diese Hinweise würde ich vermutlich noch wochenlang herumgrübeln und rechnen, ohne zu wissen, dass das notwendige Werkzeug zur Lösung fehlt. Leider gibt es jede Menge von diesen alten Maturabeispielen und ich hoffe, ich darf sie dennoch im Matheboard posten. (insbesondere bereitet mir momentan der Schatten eines Pyramidenzelts Schwierigkeiten – was hälst du davon Hawe? – magst du das ?). Vielen Dank Hawe, für deine Mühe. Grüße Karl PS: a-d: (war Unterrichtsstoff) a) In welcher Höhe klinkt sich der Pilot in den Leitstrahl ein ? (t = 0; 828) b) Wann landet die Maschine? 2 min 3 s c) Berechne den Landepunkt (in der x-y-Ebene) (24,186,0) d) Welches Flugzeug fliegt schneller ? (F1.. 260,20 F2...109,19) |
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| 26.07.2012, 10:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht eher 2 min 18 s ? Ich wollte diese Aufgabe gerne als Übungsaufgabe mit meinen Nachhilfeschülern rechnen. Deshalb die Frage: Gibt es noch weitere Teilaufgaben dazu oder ist nach f) Schluss ? Ich habe die Aufgabe noch etwas ergänzt: - Wo landet die Maschine und woran erkennt man ihren Sinkflug ? - Bestimme eine zu den obigen Daten passende Geradengleichung h für das andere Flugzeug. - Wie groß ist der Abstand der beiden Flugzeuge nach einer Minute ? - Wann kommen sich die Flugzeuge am nächsten und wie groß ist dann ihre Entfernung voneinander ? (Runde auf ganze Sekunden bzw. Meter) Falls du noch ein bisschen üben magst, hier findest du evtl auch noch zwei geeignete Aufgaben von der Sorte: http://projekte.gymnasium-odenthal.de/in...20Geometrie.pdf |
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| 26.07.2012, 10:11 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo an die Mitleser, und Danke für die Rückmeldung. Aber.... Die Aufgabe f) bezieht sich NICHT auf eine Abstandsberechnung windschiefer Geraden! Es ist nach dem Höhenabstand gefragt: die Höhendifferenz am Kreuzungspunkt der Flugrouten. Dazu muss man senkrecht zur xy-Ebene auf die Kurs-Geraden drauf oder hinauf schauen. Wir haben F1:X = (300, -9750, 828) + t*(-2, 72, -6) F2:X = (58, -2004, 0) + l* (2, -30, 4) und die Blickrichtung R:r*(0,0,1) Nun gehen wir beginnend zum Zeilpunkt t=0 die Flugroute F2 entlang, biegen zum passenden Zeiltpunkt to Richtung R ab und steigen ro m ab, bis wir zu einem Zeitpunkt lo auf einen Punkt der Route F2 treffen: (300, -9750, 828) + to*(-2, 72, -6) + ro*(0,0,1) = (58, -2004, 0) + lo* (2, -30, 4) das sind über die Koordinaten (x,y,z) gesehen 3 Gleichungen mit drei Unbekannten to,ro,lo. Wenn die bestimmt sind, haben wird über ro die Höhe im Kreuzungspunkt und über to, lo die Koordinaten der Positionen im Kreuzungspunkt der Routen, die sich nur durch unterschiedliche Flughöhen, also in der z-Koordinate unterscheiden. "Schatten eines Pyramidenzelts" kommt mir bekannt vor ;-). Ich suche zur Zeit Musteraufgaben für http://www.lemitec.de/maxima.html is vielleicht auch was für Dich? |
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| 26.07.2012, 15:34 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
26.07.2012 Einen schönen Nachmittag, und Dank für die Internetadressen und Lösung durch Hawe für alle. Maxima-Software: derzeit "spiele" ich mit Geogebra 3D, 5.0 JOGL1, Testversion - welche Vorteile hat Maxima im Vergleich zu GeoGebra - weißt du das zufällig ? Bjoern1982 b) Wann landet die Maschine ? Meine Berechnung: Wann landet die Maschine in der Ebene=Flughafen; z = 0; F1: X = (300,-9750,828) + t (-2,72,-6); 828 -6t = 0; t = 138 s : 60 = 2min 3 s keine weiteren Teilaufgaben Liebe Grüße, Karl |
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| 26.07.2012, 16:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2,3 min sind nicht 2 min und 3 s sondern 2 min und 0,3 min =... |
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| 26.07.2012, 19:24 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, ich kenne Geogebra 3D nur in einem frühen Stadium. Grundsätzlich ist Geogebra grafisch stärker und leichter zu bedienen - ich kombiniere gerne beide. Rechnerisch ist Geogebra (hat auch einen Maxima-Kern) eingeschränkt. Maxima ist ein voll ausgebautes CAS - rechnet auch symbolisch. Der minimale Abstand der Flugzeuge liese sich z.B berechnen zu. (F1-F2).(F1-F2), l=(t-10); ratsimp(%); diff(%,t); Lt:solve(%,t); A:F1,Lt; F2, l=t-10$ B:%,Lt; sqrt((B-A).(B-A)), numer; 95.40751100355537 also ein Fastzusammenstoß... Für Standardaufgaben hab ich fertige Funktionen vorgelegt z.B. für Teilaufgabe e) lageUntersuchungGeraden(F1,F2); "Abstand der windschiefen Geraden:"90.82440524182928 3108/sqrt(1171) Ich habe also ein Top-Down-Programm, das ich an beliebigen Stellen mit neuen Werten füttern kann, insbesondere mit anderen Routengeraden, das die Aufgabe damit zu einem Ergebnis führt. Näheres kannst Du auf unserer Website in den Musteraufgaben nachlesen. |
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| 26.07.2012, 20:21 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
26.07.2012 Hallo Hawe, das klingt flexibel und vielseitig und ist wahrscheinlich günstig für all jene, die mit einem CAS-fähigen Taschenrechner arbeiten. Leider wird man nirgends wirklich darauf hingewiesen - zu wenig angepriesen - lediglich GeoGebra und Geonext.de von der Uni Bayreuth ist überall zu finden. Dank für Einschätzung, Betreuung und Beratung. Gruß Karl PS: Bjoern1982 Dank für Korrektur. |
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| 27.07.2012, 08:49 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
148 m sollten stimmen, ich bekomme sie auch heraus. Mein Ansatz ist der: ich projiziere die beiden Flugbahnen in die xy-Ebene, indem ich z einfach weglasse, und bestimme den Schnittpunkt. Mit den jeweiligen Parametern berechne ich dann die unterschiedlichen z-Werte. Dann erhalte ich (104 -2694 240) und (104 -2694 92). |
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| 27.07.2012, 18:59 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
27.7.2012 Hallo Gualtiero, deine Überlegung ist brilliant-genial, und mit den einfachsten Mitteln zu lösen. Meine wirklich endgültige, allerletzte Berechnung - unter Berücksichtigung deines Beitrages - die ich im Ernstfall anwede, auch wenn die Lösung 146m ist, lautet: Im Kreuzungspunkt der beiden Flugzeuge MUSS die x- und y-Koordinate beider Geraden ident sein, nur in der Höhe gibt es einen Unterschied. F1: X = (300, -9750, 828) + t (-2, 72, -6) F2: X = (58, -2004, 0) + r (2, -30, 4) F1 = F2 300 -2t = 58 + 2 r -9750 + 72t = -2004 - 30r Bei den Paramenter t = 98 und r = 23 sind die x-und y- Koordinaten der Flugbahnen gleich, eingesetzt in die letzte Zeile = z-Zeile=Höhe beider Geraden ergibt sich ein Höhenunterschied von 148m. F1: 828 + 98*(-6) = 240 F2: 0 + 23*4 = 92 Differenz: 148 m Nochmals vielen, vielen Dank für die vielen, vielen Anregungen und Beiträge. Gruß, Karl |
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| 28.07.2012, 10:31 | hawe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Ball von Gualtiero hatte ich Dir schon mal zugeworfen:
da wolltest Du ihn wohl nicht ;.)? Was war eigentlich mit den HInweis "Schatten eines Pyramidenzelts " gemeint? Hast Du eine weitere Anfrage dazu laufen? |
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| 29.07.2012, 00:17 | Karl Loewenherz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
29.7.2012 Hallo Hawe, oje, ich war schon immer ein schlechter Fänger. Das Beispiel wurde erfolgreich gelöst. Sieg! Gruß Karl PS: Pyramidenschatten läuft |
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