Hausdorffeigenschaft nachweisen

25.07.2012, 18:23

Topologos

Hausdorffeigenschaft nachweisen

Hallo Mathefreaks!

Auf $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ definieren wir eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ , indem wir gegenüberliegende Punkte ( $\begin{eqnarray*} x\sim \pm x \end{eqnarray*}$ ) als äquivalent betrachten. Wir statten den Quotientenraum $\begin{eqnarray*} X/\sim \end{eqnarray*}$ nun mit der Quotientenraumtopologie aus (auf $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ benutzen wir die Standardtopologie).
Der Quotientenraum ist nun Hausdorffsch. Das kann ich auch nachweisen, nur sehr umständlich mit blöden Fallunterscheidungen. Hat jemand von euch einen eleganten Nachweis dieser so trivialen Tatsache?

Danke!

25.07.2012, 22:18

gonnabphd

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Hi,

Gute Frage...

Es ist vermutlich am einfachsten, gleich zu zeigen, dass der Quotientenraum normal ist. Tipp: wenn du eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: S^2\to [0,1] \end{eqnarray*}$ hast, dann ist $\begin{eqnarray*} \tilde f(x) =\frac{ f(x) + f(-x)}2 \end{eqnarray*}$ eine Funktion, welche durch den Quotienten faktorisiert (weiss nicht, wie man dem auf Deutsch am besten sagt; "which descends to the quotient").

Alternativ: Sei $\begin{eqnarray*} i:S^2 \to S^2 \end{eqnarray*}$ die Inversion, $\begin{eqnarray*} \pi: S^2 \to S^2/\sim \end{eqnarray*}$ die Quotientenabbildung. Für zwei Punkte x,y im Quotienten sind die Mengen $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(x), \pi^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und disjunkt. Damit gibt es, aufgrund der Normalität von $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ , trennende, offene Mengen U, V. Nun sollten

$\begin{eqnarray*} \pi(U\cap i(U)), \; \pi(V \cap i(V)) \end{eqnarray*}$

disjunkte offene Mengen von x bzw. y sein, falls ich mich nicht täusche.

Grüsse smile

25.07.2012, 22:59

Topologos

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Danke

Die zweite Idee gefällt mir Freude

Die erste verstehe ich nicht, da weiß ich nicht was du meinst (ist aber nicht so schlimm) Tanzen

26.07.2012, 02:43

gonnabphd

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Vielleicht nur noch kurz zur ersten Idee: Das war so gemeint. Eine Charakterisierung von der Eigenschaft normal ist:

Zitat:

Lemma: (Urysohn)
X ist normal genau dann, wenn es für je zwei beliebige disjunkte, abgeschlossene Mengen stets eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} h: X \to [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} h(x) = \begin{cases} 0 & x \in A\\ 1 & x\in B\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Rückrichtung ist trivial, betrachte $\begin{eqnarray*} U = h^{-1}([0,1/2)), \; V = h^{-1}((1/2, 1]) \end{eqnarray*}$ . Die andere Richtung ist definitiv nichttrivial (den Spezialfall von X metrisch kann man noch als Übung schaffen. Dazu zeige man, dass $\begin{eqnarray*} x\mapsto d(x,A), \; x\mapsto d(x,B) \end{eqnarray*}$ stetig sind und kombiniere geeignet.)

Sind also A, B disjunkt und abgeschlossen im Quotienten $\begin{eqnarray*} S^2/\sim \end{eqnarray*}$ , dann sind $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(A), \pi^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und disjunkt in $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Normalität der Sphäre gibt es gemäss dem Lemma von Urysohn dann eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f: S^2 \to [0,1] \end{eqnarray*}$ , welche =0 auf $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und =1 auf $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ ist.

Nun sei $\begin{eqnarray*} \tilde f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ =0 auf $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und =1 auf $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ .

Nun kommt die universelle Eigenschaft von Quotienten ins Spiel. Diese besagt in diesem Spezialfall, dass, wenn wir eine Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f: S^2 \to [0,1] \end{eqnarray*}$ haben, welche auf allen Fasern $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(x) \text{ f\"ur } x\in S^2/\sim \end{eqnarray*}$ konstant ist, dass es dann eine (eindeutige) stetige Funktion $\begin{eqnarray*} h: S^2/\sim\to [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \tilde f = h \circ \pi \end{eqnarray*}$ .

Dieses $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ erfüllt damit aber gerade $\begin{eqnarray*} h(A) = \{0\}, \; h(B) = \{1\} \end{eqnarray*}$ . Ist also eine trennende Funktion für die abgeschlossenen disjunkten Mengen A, B und folglich ist $\begin{eqnarray*} S^2/\sim \end{eqnarray*}$ normal.

Hmm... verwirrt

O.k., wenn ich mir das so anschaue: Vermutlich war der erste Tipp etwas knapp bemessen. Augenzwinkern

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