Hausdorffeigenschaft nachweisen |
25.07.2012, 18:23 | Topologos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hausdorffeigenschaft nachweisen Auf definieren wir eine Äquivalenzrelation , indem wir gegenüberliegende Punkte () als äquivalent betrachten. Wir statten den Quotientenraum nun mit der Quotientenraumtopologie aus (auf benutzen wir die Standardtopologie). Der Quotientenraum ist nun Hausdorffsch. Das kann ich auch nachweisen, nur sehr umständlich mit blöden Fallunterscheidungen. Hat jemand von euch einen eleganten Nachweis dieser so trivialen Tatsache? Danke! |
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25.07.2012, 22:18 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, Gute Frage... Es ist vermutlich am einfachsten, gleich zu zeigen, dass der Quotientenraum normal ist. Tipp: wenn du eine stetige Funktion hast, dann ist eine Funktion, welche durch den Quotienten faktorisiert (weiss nicht, wie man dem auf Deutsch am besten sagt; "which descends to the quotient"). Alternativ: Sei die Inversion, die Quotientenabbildung. Für zwei Punkte x,y im Quotienten sind die Mengen abgeschlossen und disjunkt. Damit gibt es, aufgrund der Normalität von , trennende, offene Mengen U, V. Nun sollten disjunkte offene Mengen von x bzw. y sein, falls ich mich nicht täusche. Grüsse |
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25.07.2012, 22:59 | Topologos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Die zweite Idee gefällt mir Die erste verstehe ich nicht, da weiß ich nicht was du meinst (ist aber nicht so schlimm) |
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26.07.2012, 02:43 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht nur noch kurz zur ersten Idee: Das war so gemeint. Eine Charakterisierung von der Eigenschaft normal ist:
Die Rückrichtung ist trivial, betrachte . Die andere Richtung ist definitiv nichttrivial (den Spezialfall von X metrisch kann man noch als Übung schaffen. Dazu zeige man, dass stetig sind und kombiniere geeignet.) Sind also A, B disjunkt und abgeschlossen im Quotienten , dann sind abgeschlossen und disjunkt in . Aufgrund der Normalität der Sphäre gibt es gemäss dem Lemma von Urysohn dann eine stetige Funktion , welche =0 auf und =1 auf ist. Nun sei . Dann ist auch =0 auf und =1 auf . Nun kommt die universelle Eigenschaft von Quotienten ins Spiel. Diese besagt in diesem Spezialfall, dass, wenn wir eine Funktion haben, welche auf allen Fasern konstant ist, dass es dann eine (eindeutige) stetige Funktion gibt, so dass . Dieses erfüllt damit aber gerade . Ist also eine trennende Funktion für die abgeschlossenen disjunkten Mengen A, B und folglich ist normal. Hmm... O.k., wenn ich mir das so anschaue: Vermutlich war der erste Tipp etwas knapp bemessen. |
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