Reihe Divergent ?

31.01.2007, 14:30

SilverBullet

Reihe Divergent ?

Hallo,

hab hier grad ne Reihe vor mir und zwar :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {3^n \cdot n!} {n^n} \end{eqnarray*}$

konvergiert die ?

Also ich weiß das folgende Reihe :
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {n!} {n^n} \end{eqnarray*}$

nach dem Quotientenkriterium absolut konvergiert.

Gut dann hab ich das Quotientenkriterium hier auch mal angewendet und erhalte am ende :

$\begin{eqnarray*} 3\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n = 3 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist ja jetzt größer als 1 und damit Divergiert die Reihe nach dem Quotientenkrit oder wie ist das ?

Edit (Dual Space): LaTeX

31.01.2007, 15:12

Buef

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nach dem quotienkriterium muss es ein 0<q<1 geben sodass für ein k>k0 gilt

$\begin{eqnarray*} {{{3^n n!}\over{n^n}}+1}\over{{3^n n!}\over{n^n}} \end{eqnarray*}$

da die reihe von bei dir k=0 bzw n=0 anfängt müsste ja zB 1 eingesetzt ein 0<q<1 geben

eingesetzt steht dann da

$\begin{eqnarray*} {{{{3* 1}\over{1}}+1} \over {{3*1}\over{1}}}= {{4}\over{3}}>1 \end{eqnarray*}$

da das über 1 ist, ist die reihe divergent!
solle sich aber auf jeden fall nochmal einer anschaun

31.01.2007, 15:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Buef
$\begin{eqnarray*} {{{3^n n!}\over{n^n}}+1}\over{{3^n n!}\over{n^n}} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht das Quotientenkriterium. Und außerdem: wo kommt da ein k vor?

Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} 3\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n = 3 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Also wenn, dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~3\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
Was aber trotzdem falsch ist. Was ist denn:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ ?

31.01.2007, 15:38

SilverBullet

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Da haste was falsch.

Also es geht so :

$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}} {a_n} = \frac {3^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot n^n}{3^n \cdot n! \cdot (n+1)^{n+1}} = \frac {3 \cdot n^n} {(n+1)^n} = 3 (\frac n {n+1})^n = 3 (\frac 1 {1+ \frac 1 n})^n \end{eqnarray*}$

Und das ist nach Bernoulli 3 * 0.5 = 1.5 Also divergent

31.01.2007, 15:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von SilverBullet
Und das ist nach Bernoulli 3 * 0.5 = 1.5 Also divergent

Siehe oben.

31.01.2007, 15:43

SilverBullet

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ ?

Ok also ich lass den Grenzwert da weg... Denn nach Bernoulli gilt doch :

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \leq (1 + n \cdot \frac 1 n) = 2 \end{eqnarray*}$

Aber du meinst wohl weil da ja noch ne 3 vor dem Term ist darf ich das hier nicht mit Bernoulli abschätzen weil <= hier absolut nicht genau genug ist.
Darum also den Grenzwert bilden und der ist 1.

Damit erhalte ich dann 3 und nicht 3/2

31.01.2007, 15:55

SilverBullet

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http://www.uploady.de/?img=bern266bac20.jpg

Demnach müsste dieser Beweis aus dem Forster 7a1 auch falsch sein da die Abschätzung am Ende zu ungenau ist oder ? Nenner ist ja nur kleiner gleich 2 kann also auch 1 sein dann wäre die Reihe divergent

http://www.uploady.de/?img=bern266bac20.jpg

31.01.2007, 15:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von SilverBullet
Denn nach Bernoulli gilt doch :

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \leq (1 + n \cdot \frac 1 n) = 2 \end{eqnarray*}$

Kleiner Irrtum: nach Bernoulli gilt:
$\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \geq 1 + n \cdot \frac 1 n = 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SilverBullet
Darum also den Grenzwert bilden und der ist 1.

Demzufolge ist der Grenzwert auch nicht 1, sondern eine allseits bekannte Zahl. Augenzwinkern

31.01.2007, 16:00

SilverBullet

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Ok jetzt gerät hier wieder einiges einfach durcheinander wir reden hier gerade von 2 verschiedenen Reihen :

Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {3^n \cdot n!} {n^n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {n!} {n^n} \end{eqnarray*}$

Zur 2ten hast du gerade was geschrieben aber es lautet :

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(1 + \frac 1 n)^n} \leq \frac 1 {1 + n \cdot \frac 1 n} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Grenzwert ? Bekannt wie denn ?

Weil halt noch eine 1 im Zähler ist haben wir ein kleinergleich und kein größergleich

31.01.2007, 17:19

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 17:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Kleiner Irrtum: nach Bernoulli gilt:
$\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \geq 1 + n \cdot \frac 1 n = 2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1 + \frac 1 n)^n} \leq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt noch den Grenzwert, den Lazarus geschrieben hat, berücksichtigst, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {n!} {n^n} \end{eqnarray*}$ ist konvergent

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac {3^n \cdot n!} {n^n} \end{eqnarray*}$ ist divergent

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