Integral

25.07.2012, 20:07	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hallo zusammen, sitze seit einiger Zeit vor folgendem Problem: Ich soll zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray} F(s) := \int_1^\infty t^{-s-1}\beta(t)\,\text{d}t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta(t) = t-\lfloor t\rfloor - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Re(s) > 0 \end{eqnarray}$ absolut konvergiert und dort eine analytische Funktion darstellt. So weit so gut. Also die absolute Konvergenz hab ich bereits gezeigt. Folgt eigentlich direkt aus der Abschätzung $\begin{eqnarray} \vert t^{-s-1}\beta(t)\vert \leq t^{-\sigma-1} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sigma = \Re(s) \end{eqnarray}$ . Damit ich zeige, dass das Integral eine analytische Funktion darstellt, muss ich zeigen, dass es lokal gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} F(s) \end{eqnarray}$ konvergiert. Hier habe ich meine Probleme. Hilft es, wenn ich das Integral $\begin{eqnarray} \int_{1+\frac{1}{n}}^{n} t^{-s-1}\beta(t)\,\text{d}t \end{eqnarray}$ anschaue? Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke schon mal!
26.07.2012, 09:02	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Vll ein weiterer Ansatz: Wenn ich mir das Integral $\begin{eqnarray} $$\int_1^\infty t^{-s-1}\beta(t)\,\text{d}t $$ \end{eqnarray}$ durch die Summe $\begin{eqnarray} $$ \sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{n+1} t^{-s-1}\beta(t)\,\text{d}t $$ \end{eqnarray}$ darstelle und zeige, dass $\begin{eqnarray} $$\sum_{n=1}^{\infty} \left\|\left\| \int_n^{n+1} t^{-s-1}\beta(t) \,\text{d}t \right\|\right\| < \infty $$ \end{eqnarray}$ ist, weiß ich, dass die Summe normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig konvergiert. Geht das so?
26.07.2012, 10:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das geht so. Und du umgehst damit auch die Schwierigkeit, daß die Sägezahnfunktion $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ an den Stellen $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ unstetig ist. Zeige jetzt die gleichmäßig-absolute Konvergenz der Reihe in $\begin{eqnarray} \sigma \geq \sigma_0 \end{eqnarray}$ für ein fest gewähltes $\begin{eqnarray} \sigma_0 > 0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich das richtig sehe, läuft letztlich alles auf eine Teleskopreihe hinaus.
26.07.2012, 13:55	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke schon mal für deine Antwort. Das stimmt ja, bekomme ich auch raus. Ich möchte nun noch zeigen, dass für die k-te Ableitung meiner Funktion $\begin{eqnarray} $$ F(s) = \int_1^\infty t^{-s-1}\beta(t)\,\text{d}t $$ \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} $$ F^{(k)}(s)\int_1^\infty \frac{d}{ds} t^{-s-1}\beta(t),\text{d}t$$ \end{eqnarray}$ d.h. dass man die Ableitungen unter das Integral reinziehen darf. Die Leibnizsche Regel ist mir hier gleich ins Auge gestochen, leider funktioniert die nur auf einem abgeschlossenen Intervall. Deshalb meine Idee mit der Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen mein F(s) konvergiert (siehe anderen Thread). Vielen Dank für eure Hilfe
26.07.2012, 14:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleibe doch bei der Reihendarstellung: $\begin{eqnarray} F(s) = \int_1^{\infty} t^{-(s+1)} \beta(t) ~ \dd t = \sum_{n=1}^{\infty} a_n(s) \ \ \text{mit} \ \ a_n(s) = \int_{n}^{n+1} t^{-(s+1)} \left( t - n - \frac{1}{2} \right) ~ \dd t \end{eqnarray}$ Da die Reihe in $\begin{eqnarray} \sigma>0 \end{eqnarray}$ kompakt konvergiert, darf man nach einem bekannten Satz der komplexen Analysis gliedweise differenzieren, und die differenzierte Reihe konvergiert wieder kompakt: $\begin{eqnarray} F'(s) = \sum_{n=1}^{\infty} {a_n}'(s) \end{eqnarray}$ Und bei $\begin{eqnarray} a_n(s) \end{eqnarray}$ darf unterm Integral differenziert werden. Der Integrand ist ja stetig in $\begin{eqnarray} s,t \end{eqnarray}$ und holomorph in $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ , das Integrationsintervall ist beschränkt. Beste Voraussetzungen ...
26.07.2012, 14:38	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt gut! Folgt die Analytizität des Integrals F(s) dann aus der normalen Konvergenz der Reihe? Ich muss ja zeigen, dass das Integral eine analytische Funktion darstellt. Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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26.07.2012, 14:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aus der normalen Konvergenz der Reihe und der Tatsache, daß die $\begin{eqnarray} a_n(s) \end{eqnarray}$ holomorph sind.

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