uneigentliches Integral divergent / konvergent

25.07.2012, 22:38

qqeettuu

uneigentliches Integral divergent / konvergent

Meine Frage:
Hallo, ich will entscheiden ob es sich bei:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^1 (2x+3)^{-3}\, dx \end{eqnarray*}$
um ein:
a) gewöhnliches Riemann-Integral
b) konvergentes uneigentliches Riemann Integral
c) divergentes uneigentliches Riemann Integral handelt
und im Falle von a) oder b) das Ergebnis angeben.

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}}(2x+3)^{-3}=\infty \end{eqnarray*}$ handelt es sich auf jeden Fall schon mal um ein uneigentliches Integral.

$\begin{eqnarray*} \text{Sei $g(x)=(2x+3)^{-3}$, dann ist die Stammfunktion $G(x)=-\frac{1}{4}(2x+3)^{-2}$ } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^1 (2x+3)^{-3}\, dx=\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (2x+3)^{-3}\, dx + \int_{-\frac{3}{2}}^1 (2x+3)^-3\, dx<br /> =G(x)\Big|_{-2}^{-\frac{3}{2}}+G(x)\Big|_{-\frac{3}{2}}^1<br /> =\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x)-G(2)+G(1)-\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x)<br /> =\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<br /> =\frac{6}{25} \end{eqnarray*}$

Damit würde ich sagen, das ist ein konvergentes uneigentliches Riemann Integral, aber leider hab ich mir zu der Aufgabe aufgeschrieben es sei divergent. Hab ich was falsch gerechnet oder stimmen meine Aufzeichnungen nicht?

p.s. irgendwie verhält sich die LaTexumgebung interessant. ich hab den Verdacht, dass da irgendwie & oder \\ hinzugefügt werden. wie kann ich etwas wie eine \begin{align} ... \end{align} nutzen?

25.07.2012, 23:15

original

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RE: uneigentliches Integral divergent / konvergent
.

.................. smile

................................................. smile

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x)-G(2)+G(1)-\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} G(x)=-\frac{1}{4}(2x+3)^{-2} \end{eqnarray*}$

solltest du den ersten Limes von links für x ->-3/2
und den zweiten Limes von rechts für x ->-3/2
betrachten
In beiden Fällen geht das gegen minus oo

und was glaubst du nun : wird die Differenz der beiden (eh nicht existierenden) Grenzwerte
wirklich 0 sein - wie du oben dann so schön rechnest Gott

25.07.2012, 23:30

qqeettuu

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Oh ja links und rechts seitiger Grenzwert. Dann also:

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x-\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x)-G(2)+G(1)-\lim_{x+\rightarrow-\frac{3}{2}}G(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\infty \end{eqnarray*}$

also uneigentliches divergentes Integral.

25.07.2012, 23:41

Bernhard1

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Zitat:

Original von qqeettuu
Oh ja links und rechts seitiger Grenzwert. Dann also:

Das ist doch aufgrund des geraden Exponenten (-2) egal. Ich sehe da wegen der unterschiedlichen Vorzeichen vor den zwei Grenzwerten deswegen noch immer einen unbestimmten Ausdruck gemäß infty - infty verwirrt

25.07.2012, 23:49

qqeettuu

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moment.
linksseitige Grenzwert ist doch $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$
rechtseitige Grenzwert ist doch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underbrace{\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}-}G(x)}_{-\infty}-G(2)+G(1)-\underbrace{\lim_{x\rightarrow-\frac{3}{2}+}G(x)}_{\infty} \end{eqnarray*}$

Nun rechne ich quasi $\begin{eqnarray*} -\infty-\infty=-\infty \end{eqnarray*}$

oder schlafe ich in etwa schon Big Laugh

25.07.2012, 23:51

qqeettuu

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Oh verdammt ich seh das Problem. Na toll jetzt hab ich einen unbestimmten Ausdruck Big Laugh

Und keine Idee wie ich den weg zauber :P

25.07.2012, 23:53

original

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nochmal kurz:
mit dem Symbol oo
haben Rechenoperationen wie oo-oo oder oo+oo usw keinen Sinn

wegen der Polstelle von G(x) bei x=-3/2 divergiert dein Integral
fertig.

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