Abschätzungen sinh, cos und cosh

26.07.2012, 00:24	msc77777	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzungen sinh, cos und cosh Meine Frage: Hallo Zu zeigen war einst die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|\sinh(y)\|\leq \|\cos(z)\|\leq \|\cosh(y)\| \end{eqnarray}$ mit z:=x+iy Den Beweis kann man mit aus-x-en und Additionstheoreme problemlos führen. Mir schwebte da aber eine kürzere Variante vor: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \|\cosh(y)\|=\left \|\frac{1}{2}(\mathrm e^y+\mathrm e^{-y})\right \|=\left \|\frac{1}{2}(\|\mathrm e^{-ix}\|\mathrm e^y+\|\mathrm e^{ix}\|\mathrm e^{-y})\right \|=\left \|\frac{1}{2}(\|\mathrm e^{iz}\|+\|\mathrm e^{-iz}\|)\right \|\geq\|\cos(z)\| \end{eqnarray}$ nur wenn ich dasselbe mit dem sinh mache, komme ich auf $\begin{eqnarray} \|\sinh(y)\|=\ldots=\left \|\frac{1}{2}(\|\mathrm e^{iz}\|-\|\mathrm e^{-iz}\|)\right \| \end{eqnarray}$ Hier seh ichs nicht, wie ich weiter komm. Wenn ich den Betrag nach aussen ziehe bekomme ich mit der Dreiecksungleichung ein grösser als und zudem ein isin(z) wegen dem Minus. Funktioniert die Abschätzung zum Kosinus vielleicht trotzdem? Vielen Dank für Eure Hilfe.
26.07.2012, 14:26	msc77777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzungen sinh, cos und cosh Kennt da niemand einen Trick? ... Oder geht die Abschätzung auf diese Art und Weise einfach nicht? ... Ich wär wirklich froh um ein Kommentar...
26.07.2012, 14:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} \left\| \left\| \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} \right\| - \left\| \operatorname{e}^{-\operatorname{i}z} \right\| \right\| \leq \left\| \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}z} \right\| \end{eqnarray}$ nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
26.07.2012, 17:35	msc77777	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar! Vielen Dank!

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