Funktionsfolgen punktweise & gleichmäßige Konvergenz

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26.07.2012, 13:50	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsfolgen punktweise & gleichmäßige Konvergenz Hallo, ich hab die Funktionsfolge $\begin{eqnarray} (s_n)_{n\in\mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_n: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_n=\arctan(nx) \end{eqnarray}$ Nun wollte ich die Punktweise Konvergenz zeigen: $\begin{eqnarray} s(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\arctan(nx)=\begin{cases}90°&x>0\\0°&x=0\\-90°&x<0\end{cases} \end{eqnarray}$ Also Punktweise konvergent. Nun zur glm konvergenz: $\begin{eqnarray} \|s(x)-s_n(x)\|=\begin{cases}\|90°-\arctan(nx)\|&x>0\\\|0°-\arctan(nx)\|&x=0\\\|-90°-\arctan(nx)\|&x<0\end{cases} \end{eqnarray}$ und das konvergiert für $\begin{eqnarray} n\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen 0. Daraus würde ich sagen, dass das glm konvergent ist. Mein Problem ist, dass das wohl nicht glm konvergent ist und ich nun gerne meinen Fehler wüsste
26.07.2012, 13:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsfolgen punktweise & gleichmäßige konvergenz Hallo, die punktweise Konvergenz stimmt so. Benutzt ihr aber wirklich $\begin{eqnarray} 90^\circ \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \tfrac\pi2 \end{eqnarray}$ ? Statt der gleichmäßigen Konvergenz hast du dann einfach nochmal die punktweise Konvergenz gezeigt Und zwar, dass $\begin{eqnarray} \lvert s(x)-s_n(x)\rvert \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. Stattdessen solltest du zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sup_{x\in\mathbb R}\lvert s(x)-s_n(x)\rvert \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert oder das mit dem Epsilon-Kriterium. Hier reicht es auch schon aus, festzustellen, dass die Funktionen der Folge stetig sind, aber nicht die Grenzfunktion; daher kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. Anschaulich gibt es in einer Umgebung von Null immer Punkte, die einen Abstand von fast $\begin{eqnarray} \tfrac\pi2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 90^\circ \end{eqnarray}$ zur Grenzfunktion haben. mfg, Ché Netzer
26.07.2012, 14:14	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 90° \end{eqnarray}$ vs $\begin{eqnarray} \frac{pi}{2} \end{eqnarray}$ kommt daher, dass ich mir nen Dreick kurz aufgezeichnet habe um mir $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} \end{eqnarray}$ zu überlegen Zweimal pkt Konvergenz zu zeigen war nicht ganz Sinn der Sache Aber wenn ich gezeigt habe, dass es für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergiert, dann gilt doch auch $\begin{eqnarray} \sup_{x\in\mathbb R}\lvert s(x)-s_n(x)\rvert \end{eqnarray}$ ? Eigentlich wollte ich das mit dem epsilon kriterium zeigen. Also: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists N(\epsilon)\text{, sodass } \forall x\in D \text{ und } n\ge N \text{ gilt: } \|s(x)-s_n(x)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} \| s(x)-s_n(x)\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ convergiert heiß das doch es existiert immer ein solches $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ? Wahrscheinlich hab ich da irgendwo einen großen Denkfehler...
26.07.2012, 14:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal an einem einfacheren Beispiel: Betrachte $\begin{eqnarray} f_n\colon x\mapsto\begin{cases}1&x\geq n\\0&\text{sonst}.\end{cases} \end{eqnarray}$ Diese Funktionen sind also bis zu einer bestimmten Stelle 0, danach springen sie auf 1. Und für jedes $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ findet man ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f_n(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ . Aber das Supremum jeder diese Funktionen ist 1, nicht 0. Diese Funktionenfolge konvergiert also punktweise gegen die Nullfunktion, aber nicht gleichmäßig. Mit anderen Worten: Du findest z.B. zu $\begin{eqnarray} \varepsilon=\tfrac12 \end{eqnarray}$ kein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für ALLE $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \lvert f_n(x)-0\rvert<\varepsilon \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ ), weil dieser Betrag für $\begin{eqnarray} x\geq n \end{eqnarray}$ genau 1 ist. Hier ist es genauso: Egal wie groß dein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist, nahe bei 0 gibt es immer ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , das einen zu großen Abstand von der Grenzfunktion hat, weil dessen Funktionswert auch noch nahe bei 0 ist.
26.07.2012, 14:44	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\parindent=0pt\parskip=2ex Danke für das kleine Bsp.\par Also um das noch mal mit meinen Worten aus zu drücken: \\Die Ausgangsaufgabe ist nicht glm Konvergent, da man zu jedem $n$ ein $x$ finden kann, sodass $\|s(x)-s_n(x)\|>\epsilon$ ist.\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
26.07.2012, 15:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und das für mindestens ein Epsilon. Das Argument mit der Unstetigkeit der Grenzfunktion ist aber hübscher
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26.07.2012, 15:29	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\parindent=0pt\parskip=2ex Ich hab mir jetzt noch mal Gedanken gemacht. Angenommen ich habe $s_n(x)=(-x)^n$ mit \begin{enumerate} \item $x\in\left[0,\frac{4}{5}\right]$\\Punktweise konvergent gegen \[s(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(-x)^n=0\] und glm konvergent (für jedes $\epsilon$ kann ich ein $n$ finden mit dem das für alle $x$ gilt). \item $x\in\left[0,1\right]$\\Punktweise konvergent gegen \[s(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(-x)^n=\begin{cases}0 &0\le x<1\\1&x=1 \end{cases}\] aber nicht glm konvergent (ich kann kein $n$ für alle $x$ finden). \item $x\in\left[0,1\right)$ Punktweise konvergent gegen\[s(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}(-x)^n=0\] aber nicht glm konvergent (ich kann kein $n$ für alle $x$ finden). \end{enumerate} \par Ist dem so?\par Zur \emph{Stetigkeit}:\\ Also aus stetigkeit der Funktionen und unstetigkeit der Grenzfunktion folgt , dass keine glm konvergenz vorliegt? Das kann ich ja auf mein obiges Bspl nicht anwenden oder? \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
26.07.2012, 15:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die drei Beispiele sind fast alle richtig. Das erste und das zweite stimmen so, aber beim zweiten konvergiert $\begin{eqnarray} s_n(1) \end{eqnarray}$ gar nicht, das alterniert. Ohne das Minus wäre aber alles in Ordnung. Das in den Klammern ist aber etwas missverständlich: Es gibt ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ , sodass du kein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ finden kannst, sodass ... Geh doch deine drei Beispiele am besten nochmal formal durch, ich bin mir nicht sicher, ob du wirklich verstanden hast, an welcher Stelle du welche Variable abhängig von welcher anderen bestimmen musst. Der Arcustangens ist allerdings stetig, deine Grenzfunktion nicht (unstetig in 0). Warum solltest du das Kriterium also nicht anwenden können? Generell gilt: Wenn eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert, dann muss auch diese stetig sein. Da sie das in diesem Fall nicht ist, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.
26.07.2012, 16:54	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\parskip=2ex\parindent=0pt Hallo,\\was ist denn mit dem 3. Beispiel? Bei dem 2. Beispiel hast du natürlich recht das alterniert. Das hab ich wohl übersehen. Damit ist es dann auch nicht punktweise konvergent, oder? \par Ich geh jetzt noch mal die Klammerinhalte für die einzelnen Beispiel durch: \begin{enumerate} \item ich kann für jedes $\epsilon>0$ ein $N$ finden sodass alle $n\ge N$ mit allen $x\in [0,\frac{4}{5}]$ gilt $\|s(x)-s_n(x)\|<\epsilon$. \item ich kann nicht für jedes $\epsilon>0$ ein $N$ finden sodass alle $n\ge N$ mit allen $x\in [0,1]$ gilt $\|s(x)-s_n(x)\|<\epsilon$\item ich kann nicht für jedes $\epsilon>0$ ein $N$ finden sodass alle $n\ge N$ mit allen $x\in [0,1)$ gilt $\|s(x)-s_n(x)\|<\epsilon$ \end{enumerate} \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
26.07.2012, 17:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim dritten Beispiel stimmt alles. Das alterniert zwar auch, aber das stört ja nicht. Und auch hier kann man nahe bei der 1 immer einen betragsmäßig zu großen Funktionswert finden, der die gleichmäßige Konvergenz zerstört. Die Formulierungen hören sich auch gut an, abgesehen davon, dass nach "sodass§ ein "für" fehlt (und davor ein Komma) und ich "mit allen" durch "und alle" ersetzen würde.
26.07.2012, 17:36	wwrrzz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\parskip=2ex\parindent=0pt OK super. Vielen Dank! Ich habe dann das Gefühl das mit den Folgen verstanden zu haben.Ich kann den Spaß ja auch mit Reihen machen. Beispiel: \[\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n, \, x\in(-1,1)\] Ist nach Leibnitz Kriterium für alle $x\in(-1,1)$ konvergent, also ist die Funktionsreihe punktweise konvergent. Sie ist nicht gleichmäßig konvergent, da immer ein $x$ existiert das alles kaputt macht.\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
26.07.2012, 17:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist etwas seltsam aufgeschrieben, da $\begin{eqnarray} (-1)^nx^n=(-x)^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in(-1,1) \end{eqnarray}$ . Dann kannst du die Reihe einfach mit der geometrischen Summenformel umschreiben. Deine letzte Aussage solltest du aber noch beweisen.

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