Kosinus

26.07.2012, 15:58	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Kosinus Hallo! Ich habe folgendes Problem. Im Anhang ist ein Bild meiner Kurve $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ . Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray} $$f(s) = \frac{a^s}{s(s+1)\cdots(s+k} $$ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 < a \leq 1 \end{eqnarray}$ . Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray} \vert a^s\vert \leq 1 \end{eqnarray}$ auf dem ganzen Integrationsweg von $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ . Ich muss zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray} $$\int_{\gamma_2} f(s)\,\text{d}s $$ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} R \to\infty \end{eqnarray}$ gegen 0 geht. Dazu muss ich bestimmt iwie die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \vert a^s\vert \leq 1 \end{eqnarray}$ ausnutzen. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen? Vielen Dank und viele Grüße!
26.07.2012, 17:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeichnung erklärt nicht, was $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ ist. Bleibt das eingezeichnete $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ konstant, wenn $\begin{eqnarray} R \to \infty \end{eqnarray}$ geht? Oder bleibt der durch die gestrichelte Strecke definierte Winkel konstant? Oder sind die Randpunkte des Kreisbogens irgendwie anders bestimmt?
26.07.2012, 17:32	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bleibt fest. R wird immer weiter nach rechts verschoben!
26.07.2012, 18:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kreisbogen hat die Länge $\begin{eqnarray} 2 \varphi R \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \varphi = \varphi(R) = \arccos \frac{\sigma}{R} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} R \to \infty \end{eqnarray}$ darf man von vorneherein $\begin{eqnarray} R>k \end{eqnarray}$ annehmen (da du nichts anderes hast verlauten lassen, gehe ich davon aus, daß $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ sich mit $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ nicht ändert). Für $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ auf der Spur von $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ gilt daher nach der umgekehrten Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} \|s\| = R \, , \ \ \|s+1\| \geq \|s\| - 1 = R-1 > 0 \, , \ \ldots \, , \ \ \|s+k\| \geq \|s\| - k = R - k > 0 \end{eqnarray}$ Für diese $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ gilt ferner $\begin{eqnarray} \left\| a^s \right\| = a^{\operatorname{Re}(s)} \leq a^{\sigma} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} 0 < a \leq 1 \end{eqnarray}$ . Zusammen folgt: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{a^s}{s(s+1) \cdots (s+k)} \right\| \leq \frac{a^\sigma}{R \cdot (R-1) \cdots (R-k)} \end{eqnarray}$ Jetzt verwende die Standardabschätzung $\begin{eqnarray} \left\| \int_{\gamma} g(z) ~ \dd z \right\| \leq L(\gamma) \cdot \sup \left\| g(z) \right\| \end{eqnarray}$ worin $\begin{eqnarray} L(\gamma) \end{eqnarray}$ die Länge von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ bezeichnet und das Supremum über alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf der Spur von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ erstreckt wird.
27.07.2012, 10:50	wolve	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank!

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