Kombinatorik mit Zurücklegen

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Anahita Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik mit Zurücklegen
Hi

Ich habe folgende einfache Kombinatorikfrage, kann leider überhaupt kein Kombinatorik:

Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander 5 ausgewählt. Wenn man die Buchstaben wieder "zurücklegen" kann - was ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von man ein "Wort" mit genau 3 Vokalen (A,E,O,I,U) hat?

Nennen wir dieses Ereignis mal Ereignis A. Bevor wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A berechnen - was ist überhaupt ihre "Kardinalität"?

Also ich hätte gesagt, man hat 5*5*5*21*21 Möglichkeiten - und zusätzlich kann man die Vokale und die Nicht-Vokale verschieden platzieren. Also wenn man zB AEOXY hat, kann man das auf 5! verschiedene Weisen auf die Plätze 1-5 verteilen, so dass card(A) = 5!5^3*21^2 wäre..

In der Lösung steht aber, card(A) = bin(5,3)* 5*5*5*21*21 - warum nur?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht beim Zählen nicht nur darum, jedes Wort zu erfassen, sondern auch darum, jedes Wort genau einmal zu zählen!!!

Du aber zählst jedes Wort viiiel zu oft, nämlich -mal:

Z.B. ist das konkrete Wort EXAOY eine Permutation von

A,E,O,X,Y

aber auch eine von

E,A,O,X,Y
O,A,E,Y,X

usw. unglücklich

Die offizielle Lösung macht es richtig: Die betrachtet die Anzahl der Positionen, wo die Vokale innerhalb des Wortes stehen können.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Anahita,

im Prinzip suchst du nur noch die Möglichkeiten die Elemente {v,v,k,k,k} anzuordnen. Das ist Permutation mit Wiederholung. Also die Anzahl der Anordnung gruppenweiser identischer Elemente.



Da aber m nur 2 ist steht dann da.



Jetzt ist

Also kann man auch schreiben



Und das ist eben:

Das wäre meine Erklärung.

Mit freundlichen Grüßen.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen: Was meinst du mit "Permutation MIT WIEDERHOLUNG"? Wenn man zB A,E,I,X,Y hat wird ja dann nichts wiederholt - also worauf bezieht sich das Wiederholen...

Also wenn ich das jetzt richtig verstehe, habe ich ja nun eben zB A,E,I,X,Y gegeben.
Nun muss ich die Vokale auf drei Plätze "setzen" - und jeden Platz kann man nur einmal brauchen (-> i.e. die Plätze kann man nicht wiederholt verwenden -> Binomialkoeffizient). Aber die nicht-konsonanten könnte ich untereinander doch auch tauschen - und hätte damit bin(5,3)*2?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die 3 Positionen für die Vokale fest ausgewählt sind, dan kommen auf die beiden Restpositionen automatisch Konsonanten! Und zwar OHNE deinen Faktor 2, denn alle möglichen Konsonanten-Varianten auf diesen beiden Plätzen werden bereits durch das 21*21 erfasst.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Anahita,

ich habe mich nur auf auf die Positionen von Vokalen (v) und Konsonanten (k) bezogen. Also v,v,v,k,k. Da gibt es eben bin(5,3) Möglichkeiten diese anzuordnen. Der andere Teil deiner Lösung ist ja identisch mit der vorgeschlagenen Lösung.

Mit freundlichen Grüßen.
 
 
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ah verflucht..ich glaub ich kapiers..dieser shice Binomialkoeffizient ist symmetrisch, oder?
Das heisst, wir haben folgende Situation gegeben:

Die Kardinalität der Menge aller möglichen Wörter (keine Ahnung, wie man das kürzer sagen kann):

5*5*5*21*21

Also so:

A*A*A*B*C oder
A*A*E*B*C oder
A*E*E*B*C etc. etc.

Damit haben wir quasi die möglichen Sequenzen gegeben. Jetzt wollen wir noch schauen, wie wir jeweils eine solche Sequenz auf 5 Plätze setzen können:
Mit Symmetrie meinte ich, dass wir jetzt entweder überlegen können, wie wir die
Vokale platzieren wollen (bin(5,3)) oder die Nicht-Vokale (bin(5,2)) - das kommt aufs Selbe raus?

Stimmt das so?




Noch eine Frage: Wenn ich jetzt A,E,E,B,C hätte und diese auf 4 Plätze verteilen möchte, so dass aber genau 3 Vokale ausgewählt werden, dann ist das auf bin(4,3) Arten möglich (i.e. steht hier n für die Anzahl der Plätze, nicht der "Grundmenge"?)
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