Diagonalmatrix, Orthogonalmatrix, Eigenvektoren

27.07.2012, 00:02	Irgendjemand halt	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix, Orthogonalmatrix, Eigenvektoren Die Aufgabe lautet: Gegeben sei die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix}7&-2&1\\-2&10&-2\\1&-2&7\end{pmatrix}\in\mathbb R^{3x3} \end{eqnarray}$ . Bestimme eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} S\in\mathbb R^{3x3} \end{eqnarray}$ und eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D\in\mathbb R^{3x3} \end{eqnarray}$ derart, dass gilt: $\begin{eqnarray} D=S^TAS \end{eqnarray}$ . Na gut, der Lösungsweg ist einfach: Eigenwerte herausfinden anhand des charakteristischen Polynoms. Diese sind 6, 6, 12. Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&12\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Eigenvektoren müssen wir nun herausfidnen. Für A - 12E ergibt sich der Eigenvektor $\begin{eqnarray} (1,-2,1)^T \end{eqnarray}$ . Für A - 6E ergibt sich folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&-2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\Rightarrow x_3=t, x_2=s, x_1=2t-s, t,s\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Also kann man schon mal einen Eigenvektor festmachen: $\begin{eqnarray} (-1,0,1)^T \end{eqnarray}$ Als ich jedoch auch den zweiten Vektor ausrechnete $\begin{eqnarray} (2,1,0)^T \end{eqnarray}$ , wurde diese Stelle rot angestrichen mit der Begründung, dass die Spaltenvektoren der Matrix S senkrecht sein müssen. Man müsse einen anderen Vektor nehmen und als Beispiel war $\begin{eqnarray} (1,1,1)^T \end{eqnarray}$ gegeben. Ich stelle mal die Frage, wie ich sie meiner Übungsleiterin gestellt habe (die ist aber anscheinend schlafen und morgen ist bereits Klausur): Nun bleibt nur noch die Frage, ob dieser dritte Vektor, also $\begin{eqnarray} (1, 1, 1)^T \end{eqnarray}$ auch ein Eigenvektor ist! Ich dachte nämlich, die Spaltenvektoren von S müssen die Eigenvektoren von A sein. Aber das ist ja anscheinend nicht der Fall. Und wer sagt uns, dass diese zwei Vektoren, die wir herausgefunden haben, auch unbedingt senkrecht auf den anderen Vektor (mit Eigenwert 12) stehen? Oder ist das so gegeben? Falls ja, liegt es dann einfach nur an der algebraischen und geometrischen Vielfachheit größer 1, dass wir nur einen Eigenvektor nehmen und den anderen Vektor "errechnen" müssen? (Sprich, wenn wir 3 verschiedene Eigenwerte hätten, müssten wir gar keinen Orthogonalitätstest durchführen und einfach die Eigenvektoren normalisiert übertragen) Ich hoffe, ihr könnt mir helfen! Liebe Grüße!
27.07.2012, 02:03	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix, Orthogonalmatrix, Eigenvektoren Du hast auf jeden Fall 3 linear unabhängige Eigenvektoren (Rang(A)=3): Hast du 3 verschiedene EWs, sind die EVs automatisch senkrecht zueinander und müssen nur noch normiert werden. Hast du 2 gleiche EWs, spannen deren EVs eine Ebene (=Eigenraum) auf, die senkrecht zum 3. EV liegt. Damit ist jeder Vektor, der in dieser Ebene liegt EV. Du musst dann zwei normierte EVs konstruieren, die beide in dieser Ebene/senkrecht zum 3. EV liegen und zusätzlich senkrecht zueinander sind. Grundsätzlich gilt: EVs zu verschiedenen EWs sind immer senkrecht zuenander.
27.07.2012, 02:23	Irgendjemand halt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix, Orthogonalmatrix, Eigenvektoren In Ordnung, das klärt die Fragen, danke! Also wenn ich das charakteristische Polynom ausrechne und ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 rauskommt, am besten erst den Eigenvektor mit algebraischer Vielfachheit 1 ausrechnen und bei den übrigen zwei Eigenvektoren finden, die senkrecht zueinander sind. Das ist ja ziemlich einfach.. Mal ans Anmerkung, da du den Rang erwähnt hast. Die Anzahl der (linear unabhängigen) Eigenvektoren ist gleich dem Rang der Matrix, oder?
27.07.2012, 02:43	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix, Orthogonalmatrix, Eigenvektoren Der Rang ist eigentlich egal. Hat sie nur Rang 1 oder 2, gibt es einen Eigenraum zum EW=0 Dim 2/1. Aber auch deren EVs stehen senkrecht zum 3.EV

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