Satz des Pythagoras

27.07.2012, 11:13

WurzelFreak

Satz des Pythagoras

Meine Frage:
Hallo.
Ich wollte heute ein wenig lernen und fing beim Satz von Pythagoras an.
Nur ich verstehe ihn nicht. traurig

Kann mir ihn einer erklären?

Lg WurzelFreak Hammer

Meine Ideen:
Keine

27.07.2012, 11:19

Cheftheoretiker

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RE: Satz von Pythagoras
Hi,

schau mal hier Satz des Pythagoras
Was verstehst du denn genau nicht?

Viele Grüße, hangman. Wink

27.07.2012, 11:24

WurzelFreak

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Naja .. Ich komme ja erst in die 8.Klasse und habs noch niicht gelernt.
Aber ich weis ja nicht mal wie man Wurzeln ausrechnet.
Ich hab ein Beispiel: a² + b² = c²
ich hab jetzt a und c angegeben. Ich muss aber b aussrechnen also muss ich rechnen= b²=c²-a²
oder ? geschockt

27.07.2012, 11:30

Cheftheoretiker

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Nehmen wir doch als erstes mal ein einfaches Beispiel ohne Umformungen. smile

$\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=4 \end{eqnarray*}$

eingesetzt ergibt es,

$\begin{eqnarray*} 3^2+4^2=c^2 \end{eqnarray*}$

Was steht denn nun auf der linken Seite wenn du es zusammenfasst?

27.07.2012, 11:32

WurzelFreak

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Satz ....
Naja da steht dann 25 oder?

27.07.2012, 11:34

Cheftheoretiker

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RE: Satz ....
Genau, also

$\begin{eqnarray*} 25=c^2 \end{eqnarray*}$

Wenn man nun die Wurzel ziehen will, muss man das auf beiden Seiten machen, was ist also $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

27.07.2012, 11:39

WurzelFreak

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5 oder?

so ich hab jetzt ein beispiel :
a=60
c=100
b=?

b²= 100²-60² oder?

27.07.2012, 11:44

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von WurzelFreak
5 oder?

Jap!

wenn man allerdings korrekt sein möchten, auch $\begin{eqnarray*} c=-5 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

so ich hab jetzt ein beispiel :
a=60
c=100
b=?

b²= 100²-60² oder?

Jep!

Was erhalten wir also für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ?

27.07.2012, 12:53

WurzelFreak

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Wieso jetzt -5?

6400 = b²?

27.07.2012, 13:04

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von WurzelFreak
Wieso jetzt -5?

Weil $\begin{eqnarray*} (-5)^2=25 \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} 5^2=25 \end{eqnarray*}$ . smile

Zitat:

6400 = b²?

Jap, dass ist korrekt. Nun die Wurzel ziehen. Denk auch an die zweite Lösung. Augenzwinkern

27.07.2012, 13:09

MrBlum

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Zitat:

Original von WurzelFreak
Wieso jetzt -5?

6400 = b²?

Weil (-5)² ebenso 25 ergibt.

Und ja b² ist richtig, b kannst Du ja mit dem Taschenrechner rechnen.

Der wird meinen, dass 80 herauskommt. Was vorerst ja auch genügt, denn Dreiecke haben ohnehin keine negativen Seitenlängen.

smile

Upps, bin schon weg. Habe hangman offline gesehen. Wink

27.07.2012, 13:10

WurzelFreak

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Ah ok danke. Mit Zunge

Ok und die Wurzel aus 6400 ist 80 stimmts ? smile

und eine Frage noch.... kann man wurzeln auch ohne taschenrechner ziehen ? Hilfe

Kein Problem Mr.Blum Freude

27.07.2012, 13:15

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von WurzelFreak
Ah ok danke. Mit Zunge

Ok und die Wurzel aus 6400 ist 80 stimmts ? smile

Korrekt!

Zitat:

und eine Frage noch.... kann man wurzeln auch ohne taschenrechner ziehen ? Hilfe

Schon, du kannst versuchen den Ausdruck unter der Wurzel zu faktorisieren. Ein Beispiel wäre,

$\begin{eqnarray*} \sqrt{100}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{2\cdot 25\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{25}=2\cdot 5=10 \end{eqnarray*}$

Man weiß natürlich das die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ Zehn ist, aber dies sollte ja auch nur zur Verdeutlichung dienen. Augenzwinkern

27.07.2012, 13:19

WurzelFreak

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ah ok ..

danke vielmals euch beiden Lehrer

27.07.2012, 13:21

Cheftheoretiker

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RE: Satz ....
Keine Ursache. smile

Viele Grüße, hangman Wink

27.07.2012, 14:17

wubi

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RE: Satz ....
Auf D={x in R|x>=0} ist f(x)=x^2 eine bijektive Funktion womit Quadrieren und Wurzelziehen zu Äquivalenzumformungen werden. Man kann sqrt(x) direkt auf beiden Seiten anwenden und erhält dann natürlich eine postive Zahl aus Bild(f^-1) = D.

Da Längen immer positiv sind, gibt es hier also keine negativen Lösungen.

27.07.2012, 14:37

Mystic

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RE: Satz ....

Zitat:

Original von wubi
Da Längen immer positiv sind, gibt es hier also keine negativen Lösungen.

Mit einer kleinen, aber nicht wesentlichen Erweiterung: Längen können außerdem noch 0 sein... Augenzwinkern

Aber was ist das schon im Vergleich zu der Tatsache, dass hier versucht wird, dem Fragesteller allen Ernstes einzureden, dass er eine Lösung für eine Dreiecksseite mit negativer(!) Länge vergessen hätte... unglücklich

27.07.2012, 16:10

Cheftheoretiker

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RE: Satz ....

Zitat:

Original von wubi
Auf D={x in R|x>=0} ist f(x)=x^2 eine bijektive Funktion womit Quadrieren und Wurzelziehen zu Äquivalenzumformungen werden. Man kann sqrt(x) direkt auf beiden Seiten anwenden und erhält dann natürlich eine postive Zahl aus Bild(f^-1) = D.

Da Längen immer positiv sind, gibt es hier also keine negativen Lösungen.

Wieso nimmst du einfach an das der Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\geq 0} \end{eqnarray*}$ lautet?

Des weiteren gibt es in der Tat keine negativen Längen. Das spiegelt aber meiner Ansicht nach nicht die vollständige Lösung wieder. Die Lösung lautet nämlich sowohl $\begin{eqnarray*} c=5 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} c=-5 \end{eqnarray*}$ . Wobei die $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ gestrichen werden kann. Begründung siehe oben.

27.07.2012, 16:56

Mystic

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RE: Satz ....

Zitat:

Original von hangman
Des weiteren gibt es in der Tat keine negativen Längen. Das spiegelt aber meiner Ansicht nach nicht die vollständige Lösung wieder. Die Lösung lautet nämlich sowohl $\begin{eqnarray*} c=5 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} c=-5 \end{eqnarray*}$ . Wobei die $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ gestrichen werden kann. Begründung siehe oben.

Du stellst hier die Dinge schon auf eine merkwürdige Weise auf den Kopf... Es muss nämlich vor dem Lösen einer Gleichung schon feststehen, in welcher Grundmenge man die Lösungen eigentlich sucht und diese Festgelegung geschieht daher gewöhnlich als Erstes, bevor man irgendwas anderes macht... Wenn es beispielsweise eine Rechnung ist, in der x und y die Anzahl der Pferde bzw. Kühe auf einem Bauernhof bezeichnen, dann steht schon zu Beginn der Rechnung fest, dass die Grundmenge, in der die Lösungen gesucht werden, die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen ist und es kommen dabei auch ganz andere Methoden zur Anwendung...

In dieser Aufgabe ist es so, dass man es mit Längen von Strecken zu tun hat, d.h., die Grundmenge ist eben dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{\ge 0} \end{eqnarray*}$ ... Dies hat insbesondere dann auch zur Folge, dass deine negative "Lösung" für c gar nicht erst betrachtet wird, denn sie liegt ja nicht in der Grundmenge, was die Rechnung hier geringfügig einfacher macht... Es gibt aber durchaus Fälle, wo die Berechnung von allen reellen (und erst ein nachträgliches Ausscheiden von nicht "brauchbaren") Lösungen immense Probleme machen würde, während die "eigentlichen" Lösungen, d.h., mit entsprechend eingeschränkter Grundmenge, selbst leicht gefunden werden können...

27.07.2012, 17:03

Cheftheoretiker

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RE: Satz ....

Zitat:

Und inwiefern soll das mit meiner Aussage im Widerspruch stehen? Wenn es zwei Lösungen gibt und nur eine Lösung auf die Realität übertragbar ist, gibt es dennoch zwei Lösungen wobei nur eine sinnvoll für das zu lösende Problem ist.
Was ist daran unverständlich? Schlussendlich ist es eine definitionssache und ich verstehe nicht wieso du mich als volltrottel dahin stellst, dass mag ich garnicht.

28.07.2012, 11:25

Mystic

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RE: Satz ....
Ok, noch ein letzter Versuch von meiner Seite, den Knoten hier aufzulösen... Auch wenn es sehr wahrscheinlich wieder nichts bringen wird, so profitiert vielleicht jemand anderer davon...

Prinzipiell muss vor jeder Rechnung die Grundmenge G festgelegt werden, in der man die Lösungen sucht... Danach richten sich dann auch die Lösungsverfahren, die je nach Grundmenge ganz verschieden sein können... Das ist selbst in diesem einfachen Beispiel schon so, wo es nur darum geht, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2=25 \quad (*) \end{eqnarray*}$

zu lösen, wenngleich die Unterschiede noch nicht so ins Gewicht fallen...

1.Fall: $\begin{eqnarray*} G = \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=25 \Leftrightarrow (x+5)(x-5)=0 \Leftrightarrow x=\pm 5 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} G = \mathbb R_{\ge 0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=25 \Leftrightarrow (x+5)(x-5)=0 \Leftrightarrow x-5 \Leftrightarrow x=5 \end{eqnarray*}$

Der entscheidende Unteschied besteht darin, dass man hier durch den Linearfaktor x+5 kürzen darf, da dieser nach Voraussetzung nie 0 werden kann...

28.07.2012, 12:12

Linearfaktor

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Zitat:

Prinzipiell muss vor jeder Rechnung die Grundmenge G festgelegt werden, in der man die Lösungen sucht... Danach richten sich dann auch die Lösungsverfahren, die je nach Grundmenge ganz verschieden sein können...

Kann ich nicht unabhängig von meiner Grundmenge zuerst die Linearfaktoren von
$\begin{eqnarray*} x^2-25=0 \end{eqnarray*}$
über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ bestimmen und erst dann aussondern?

28.07.2012, 12:17

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Linearfaktor
Kann ich nicht unabhängig von meiner Grundmenge zuerst die Linearfaktoren von
$\begin{eqnarray*} x^2-25=0 \end{eqnarray*}$
über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ bestimmen und erst dann aussondern?

So meine ich das auch, wobei ich es auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezog.

28.07.2012, 14:23

Leopold

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Wenn du gleich von Anfang an gesagt hättest, daß die Gleichung $\begin{eqnarray*} 25 = c^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen besitzt, von denen jedoch die negative unbrauchbar ist, da sie nicht in der Grundmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der nichtnegativen reellen Zahlen liegt, daß also die Gleichung $\begin{eqnarray*} 25 = c^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nur eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} c=5 \end{eqnarray*}$ , besitzt, wäre der ganze Streit erst gar nicht entstanden. Du bist aber darauf mit keinem Wort eingegangen und hast vielmehr dem Fragesteller signalisiert, daß auch die negative Lösung brauchbar ist. Und dafür hat dich Mystic zurecht kritisiert. Sein Vorgehen ist auch das angemessenere. Wozu die Gleichung erst über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ lösen und dann die negativen Lösungen aussondern, wenn es kein bißchen schwieriger ist, die Gleichung gleich über der richtigen Grundmenge zu lösen. Oder würdest du auf die Frage, wie lang die Kante eines Würfels mit dem Rauminhalt $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ ist, auch zunächst die Lösungen von $\begin{eqnarray*} x^2 = 8 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ angeben:

$\begin{eqnarray*} x = 2 \ \ \text{oder} \ \ x = - 1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \ \ \text{oder} \ \ x = -1 - \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

um hernach festzustellen: Ach herrjeh! Die komplexen Lösungen sind unbrauchbar!

EDIT
Es soll natürlich (Mystic hat das Falsche gnadenlos falsch, also richtig gelesen) $\begin{eqnarray*} x^3 = 8 \end{eqnarray*}$ heißen. Nur der böse Equester hat das Falsche richtig, also falsch gelesen.

28.07.2012, 17:28

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Oder würdest du auf die Frage, wie lang die Kante eines Würfels mit dem Rauminhalt $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ ist, auch zunächst die Lösungen von $\begin{eqnarray*} x^2 = 8 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ angeben:

$\begin{eqnarray*} x = 2 \ \ \text{oder} \ \ x = - 1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \ \ \text{oder} \ \ x = -1 - \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

um hernach festzustellen: Ach herrjeh! Die komplexen Lösungen sind unbrauchbar!

Ja, hübsches Beispiel... Freude

Wobei mir jetzt grad auch noch eines einfällt, das die Sache noch einmal auf den Punkt bringt... Angenommen, bei einem Multiple-Choice-Test wäre eine der Fragen folgende:

Welche Nullstelle(n) hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-10x^2+1 \end{eqnarray*}$ ?

a) $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 +\sqrt 3 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \sqrt 2-\sqrt 3 \end{eqnarray*}$

Wäre es da nicht einfacher, als Grundmenge G die Menge aller Zahlen in a)-d) zu nehmen, und ihre Elemente der Reihe nach einfach einzusetzen, statt die Gleichung f(x)=0 zuerst allgemein in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aufzulösen und dann erst nachzuprüfen, inwieweit die so gefundenen Lösungen mit den angegebenen Zahlen übereinstimmen? Wink

28.07.2012, 17:32

Equester

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$\begin{eqnarray*} x³=8 \end{eqnarray*}$ *

*Senf dazugeb*

28.07.2012, 18:27

Cheftheoretiker

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Wenn ich im Schulbereich poste gehe ich eigentlich davon aus dass die Grundmenge stets $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, sonst könnte man genau so gut über jede Aufgabe in der die Grundmenge nicht angegeben ist herlich diskutieren. Hat sich aber nun erledigt.

Viele Grüße, hangman. Wink

31.07.2012, 09:34

Math1986

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Zitat:

Original von hangman
Wenn ich im Schulbereich poste gehe ich eigentlich davon aus dass die Grundmenge stets $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, sonst könnte man genau so gut über jede Aufgabe in der die Grundmenge nicht angegeben ist herlich diskutieren.

In diesem Fall geht die Grundmenge aber klar aus dem Kontext der Aufgabe hervor, da eine Länge niemals negativ werden kann, da muss ich meinen Vorrednern rechtgeben.

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