Vollständige Induktion

27.07.2012, 13:30

RudiAssauer

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Im Zuge der Vorbereitung meiner Matheklausur hänge ich mal wieder an einer Aufgabe. Es handelt sich dabei um vollständige Induktion. Wie dieses ganze Beweisverfahren funktioniert ist mir soweit eigentlich klar. Bei mir hakt es jedoch dauernd bei den Umformungen nach Einsetzen der Induktionsbehauptung in den Induktionsschritt.
Nach einsetzen des Induktionsschrittes sieht das ganze folgendermassen aus...
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6}n \left(n+1\right) \left(2n+1\right) \left(n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$
Das Ganze soll dann schließlich auf diese Form gebracht werden...
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6} \left(n+1\right) \left(n+2\right) \left(2n+3\right) \end{eqnarray*}$

Waere sehr nett, wenn mir jemand den Weg dort hin erklaeren koennte.
Bin da naemlich langsam am verzweifeln, da ich das Prinzip der Induktion verstanden habe, es aber nur an diesen Umformungen noch hakt.

Meine Ideen:
Habe da bis jetzt nach laengerem gruebeln noch nicht wirklich eine Idee, wie ich schliesslich auf diese Formel kommen soll.

27.07.2012, 13:32

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Hallo,

hier dürfte ein Plus vergessen worden sein:

Zitat:

Original von RudiAssauer
Nach einsetzen des Induktionsschrittes sieht das ganze folgendermassen aus...
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6}n \left(n+1\right) \left(2n+1\right){\color{red}+} \left(n+1\right)^2 \end{eqnarray*}$

Lag es daran oder war das nur ein Tippfehler?

mfg,
Ché Netzer

27.07.2012, 13:39

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Ja, das war nur ein Tippfehler. Augenzwinkern

Das Problem lag allerdings auch nicht daran.

27.07.2012, 13:43

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Dann klammer erst einmal das $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ aus:
$\begin{eqnarray*} (n+1)\left(\tfrac16n(2n+1)+(n+1)\right) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt erweitere das rechte $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ mit 6 und fasse die Brüche zusammen. Dann verrechnen und das Produkt erkennen.

27.07.2012, 13:56

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, habe ich dann folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)\left(\tfrac16n(2n+1)+6(n+1)\right) \end{eqnarray*}$ .

Hier hakst nun wieder mal... Augenzwinkern

27.07.2012, 13:59

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Noch nicht ganz, der Faktor $\begin{eqnarray*} \tfrac16 \end{eqnarray*}$ sollte noch vor der Klammer stehen:
$\begin{eqnarray*} \tfrac16(n+1)\Bigl(n(2n+1)+6(n+1)\Bigr) \end{eqnarray*}$ .
Die ersten beiden Faktoren sehen ja schonmal gut aus, jetzt brauchst du nur noch $\begin{eqnarray*} (n+2)(2n+3) \end{eqnarray*}$ . Dazu kannst du in der rechten Klammer alles ausmultiplizieren und dann zu diesem Produkt zusammenfassen.

27.07.2012, 14:05

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Danke fuer deine Geduldigkeit. Mittlerweile habe ich es mehr oder weniger nachvollzogen und verstanden. Mir ist das nur noch nicht ganz klar mit den $\begin{eqnarray*} \tfrac16 \end{eqnarray*}$ . Ich kann die dann einfach aus der rechten Klammer rausziehen? Das habe ich so richtig verstanden?

27.07.2012, 14:06

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Wieso solltest du sie nicht herausziehen können?
$\begin{eqnarray*} \tfrac16a+b=\tfrac16a+\tfrac66b=\tfrac16(a+6b) \end{eqnarray*}$
In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} a=n(2n+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n+1 \end{eqnarray*}$ , außerdem steht vor dem ganzen noch der Faktor $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

27.07.2012, 14:09

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Vielen Dank fuer deine Hilfe. Mittlerweile habe ich es verstanden. Big Laugh

Bruchrechnen sollte man koennen. ^^

27.07.2012, 14:51

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Hätte da aber eventuell nochmal ne Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Es handelt sich mehr oder weniger um dasselbe Problem.
Das hier...
$\begin{eqnarray*} \frac{n\left(n+1\right) }{2} + \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$
soll hierhin umgeformt werden...
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right) }{2} \end{eqnarray*}$

27.07.2012, 14:53

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Mir fehlt leider noch dieses gewisse Händchen für diese Umformungen.
Wäre über Hilfe daher nochmals sehr erfreut. Augenzwinkern

27.07.2012, 14:56

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Das ist sogar noch ein Stück einfacher:
Klammer wieder das $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ aus, dann erhältst du
$\begin{eqnarray*} (n+1)\left(\tfrac12n+1\right) \end{eqnarray*}$ .

27.07.2012, 15:09

RudiAssauer

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RE: Vollständige Induktion
Okay, aber wie komme ich denn dann ab hier weiter?

27.07.2012, 16:06

Che Netzer

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RE: Vollständige Induktion
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} 1=\tfrac22 \end{eqnarray*}$ ?

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