Methode der kleinsten Quadrate

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31.01.2007, 15:11

Charlie_Firpo

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Methode der kleinsten Quadrate

Hallo Leute,

Ich habe folgende Aufgabe:

http://www.picturehost.co.uk/img/44b3d57ad59f2a9f53375176c686aebb/klq1.png

Dann habe ich das hier gemacht:

http://www.picturehost.co.uk/img/2bd28041a84fc155b9b05d16fe383a9a/klq2.png

Weiß jetzt allerdings nicht mehr so recht weiter... v.a. ob das oben überhaupt richtig ist. Als nächsten Schritt hätte ich dann die transponierte Matrix At mal Ax gemacht sowie At mal v und dann nach Alpha und Beta aufgelöst...

in den Lösungen steht $\begin{eqnarray*} y=x^{1,5} \end{eqnarray*}$ , bei der Rücksubstitution hab ich allerdings Schwierigkeiten. Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar? Wink

31.01.2007, 16:41

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Ich glaube, du hast bei der hier vorliegenden Regression bzw. MKQ grundsätzlich was nicht verstanden:

Hier geht es NICHT um Interpolation, d.h., dass man die Kurve genau durch alle Datenpunkte legt. Das ist bei genau zwei Parametern $\begin{eqnarray*} A,\alpha \end{eqnarray*}$ bzw. in der logarithmierten Variante $\begin{eqnarray*} \beta,\alpha \end{eqnarray*}$ i.a. auch gar nicht möglich, wenn mehr als zwei Datenpunkte gegeben sind. Also hat man eigentlich nicht den Ansatz $\begin{eqnarray*} Y_i = \alpha X_i + \beta \end{eqnarray*}$ vorliegen, sondern $\begin{eqnarray*} Y_i = \alpha X_i + \beta + \varepsilon_i \end{eqnarray*}$ mit einem Restfehler $\begin{eqnarray*} \varepsilon_i \end{eqnarray*}$ pro Datenpaar. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \beta,\alpha \end{eqnarray*}$ schätzt man nun so, dass $\begin{eqnarray*} \sum_i \varepsilon_i^2 \end{eqnarray*}$ minimal wird, daher der Name "Methode der Kleinsten Quadrate".

Um es konkret zu machen: Es wird nicht das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{X} \cdot p = \mathcal{Y} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \mathcal{X} = \begin{pmatrix} X_1 & 1\\ X_2 & 1\\ \vdots & \vdots\\ X_n & 1\end{pmatrix},\quad p = \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\end{pmatrix},\quad \mathcal{Y} = \begin{pmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots\\ Y_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bezüglich des Parametervektors $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gelöst - das geht i.a. gar nicht bei $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ . Sondern das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (\mathcal{X}^T\mathcal{X}) \cdot p = \mathcal{X}^T\mathcal{Y} \end{eqnarray*}$ , dieses liefert gerade die MKQ-Schätzung.

31.01.2007, 18:24

Charlie_Firpo

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Hallo,
vielen Dank erstmal für Deine Mühe! Du hast sicherlich recht mit Deiner Aussage, was Mathe anbelangt bin ich wirklich keine große Leuchte... unglücklich

Zitat:

Original von Arthur Dent
Sondern das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (\mathcal{X}^T\mathcal{X}) \cdot p = \mathcal{X}^T\mathcal{Y} \end{eqnarray*}$ , dieses liefert gerade die MKQ-Schätzung.

Hmm, das ist doch eigentlich genau das was ich damit gemeint habe:

Zitat:

Als nächsten Schritt hätte ich dann die transponierte Matrix At mal Ax gemacht sowie At mal v und dann nach Alpha und Beta aufgelöst...

Den Ansatz hier habe ich mehr oder weniger aus dem Skript entnommen, die Messdaten hab ich dann einfach eingesetzt. Wie ich Deiner Aussage aber entnehmen kann, ist das nicht richtig gewesen... von einem Restfehler ist allerdings gar nicht die Rede im Skript verwirrt

http://www.picturehost.co.uk/img/2bd28041a84fc155b9b05d16fe383a9a/klq2.png

Angenommen Ax und v sind korrekt und ich würde hiermit weitermachen: $\begin{eqnarray*} (\mathcal{X}^T\mathcal{X}) \cdot p = \mathcal{X}^T\mathcal{Y} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf das hier: $\begin{eqnarray*} \mathcal{X}^T\mathcal{X} = \begin{pmatrix} 1,7 & 1,8 \\ 1,8 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal{X}^T\mathcal{Y} = \begin{pmatrix} 2,3 \\ 2,35 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt nicht nach alpha und beta auflösen? verwirrt

31.01.2007, 19:06

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Zitat:

Als nächsten Schritt hätte ich dann die transponierte Matrix At mal Ax gemacht sowie At mal v und dann nach Alpha und Beta aufgelöst...

Sorry, das hatte ich gar nicht mehr gelesen, nachdem in dem weißen Kasten die falschen, überbestimmten Gleichungen standen (3 Gleichungen für 2 Variable).

Zitat:

Original von Charlie_Firpo
Dann komme ich auf das hier: $\begin{eqnarray*} \mathcal{X}^T\mathcal{X} = \begin{pmatrix} 1,7 & 1,8 \\ 1,8 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal{X}^T\mathcal{Y} = \begin{pmatrix} 2,3 \\ 2,35 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt nicht nach alpha und beta auflösen? verwirrt

Als Gleichungssystem betrachtet, ja:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,7 & 1,8 \\ 1,8 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,3 \\ 2,35 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deine mathematische Symbolik ist schon sehr missverständlich, daher hatte ich oben auch gedacht, du hast das Prinzip MKQ nicht verstanden.

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