Alle Richtungsableitung in (0,0)

Neue Frage »

27.07.2012, 13:58	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Richtungsableitung in (0,0) Meine Frage: Hallo ich habe hier eine Aufgabe bei der ich alle Richtungsableitung in (0,0) bestimmen soll: $\begin{eqnarray} f(x,y)= \frac{y^{3}-2x^{3}}{x^{2}+y^{2} } , (x,y)\neq (0,0) ; = 0, (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz: partielle Ableitungen und so Gradienten bilden. Dann (0,0) in den Gradienten einsetzen und mit dem Richtungsvektor, nennen wir ihn mal e=(e_1,e_2) mit \|e\|=1, skalar multiplizieren. Habe ich gemacht. Aber mein Gradient ist für (0,0) auch (0,0). Das heißt, dass ich egal welchen Richtungsvektor ich habe, 0 als Ableitung rauskommt. Wenn ich das ganze aber mit $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}\frac{1}{h} (f((0,0)+h\cdot e)-f(0,0)) \end{eqnarray}$ mache, dann komme ich aber auf den allgemeinen Ausdruch: $\begin{eqnarray} \frac{e_2^{3}-2e_1^{3}}{e_1^{}+e_2^{2}} \end{eqnarray*}$ Bin am verzweifeln, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke!
27.07.2012, 14:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Richtungsableitung in (0,0) Hallo, wie hast du denn den Gradienten bestimmt? Wenn du bei deiner Formel unten noch das $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ quadrierst, dürfte es so stimmen und damit ist $\begin{eqnarray} \nabla f(0,0)=(-2,1)^{\mathrm T} \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer
27.07.2012, 14:35	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Richtungsableitung in (0,0) den Gradienten habe ich bestimmt in dem ich die partiellen ableitungen nach x und y untereinander also als spaltenvektor geschrieben habe. jetzt ist mir noch aufgefallen, dass, wenn ich (0,0) in den Gradienten einsetze dort 0/0 steht. und das darf doch nicht sein. oder? lag da mein fehler? ja du hast recht, es soll eigentlich e_1^2 im Nenner heißen
27.07.2012, 14:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Richtungsableitung in (0,0) Kann es sein, dass du den Bruch tatsächlich nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abgeleitet hast? Damit bestimmst du die partiellen Ableitungen außerhalb des Nullpunktes. $\begin{eqnarray} (0,0)^{\mathrm T} \end{eqnarray}$ kannst du da auch nicht einsetzen (nicht einmal mit Grenzwertbildung), da du nichts über die Stetigkeit der Ableitung weißt. Die partiellen Ableitungen müsstest du dann also wieder über den Grenzwert bilden, den du schon angegeben hast (was etwas überflüssig wäre...).
27.07.2012, 15:13	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
ja habe den bruch abgeleitet. jetzt wo du es sagst... heißt das, dass ich für den Gradienten im Nullpunkt $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{df}{dx}(0,0)=\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ und analog für y machen muss? dann komme ich nämlich auch auf (-2,1)^T aber wenn ich dann einen beliebigen normierten Richtungsvektor mit (-2,1)^T multipliziere dann kommt ja nicht das selbe raus wie wenn ich den normierten vektor in meinen allgemeinen ausdruck da einsetzte???
27.07.2012, 17:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Schreibweise ergibt so keinen Sinn... Eher $\begin{eqnarray} \tfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}h \end{eqnarray}$ . Und ja, das ist dann die erste Komponente des Gradienten. Und der allgemeine Ausdruck ist richtig. $\begin{eqnarray} \partial_vf(0,0)=\tfrac{v_2^3-2v_1^3}{v_1^2+v_2^2}=v_2^3-2_1^3 \end{eqnarray}$ (da der Richtungsvektor normiert ist). Mit dem Gradienten klappt das tatsächlich nicht, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
Anzeige

27.07.2012, 18:43	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, vielen dank. ja das mit der schreibweise habe ich auch gesehen^^ lim muss natürlich rechts vom gleichheitszeichen stehen. Kann man daraus verallgemeinern, dass wenn die limes methode und der gradient nicht das selbe ergebnis liefern, die Fkt. in diesem Punkt nicht differenzierbar ist?
27.07.2012, 18:59	Lockenlui	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: bei der Aufgabe funktioniert die Richtungsableitung im Nullpunkt auch nur mit dem Limes. $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{x^{2}y }{x^{2}+y^{2}} , (x,y)\neq (0,0) sonst 0 \end{eqnarray}$ Mit Gradient gehts nicht. Bist du dir sicher, dass man die Richtungsableitung im Nullpunkt auch durch den Gradienten, der aus den partiellen Ableitungen im Nullpunkt besteht, berechnen kann?
27.07.2012, 19:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, kann man $\begin{eqnarray} \partial_vf(p) \end{eqnarray}$ auch als Ableitung von $\begin{eqnarray} f(p+tv) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ an der Stelle 0 betrachten: $\begin{eqnarray} \partial_vf(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+hv)-f(p+0v)}{h-0} \end{eqnarray}$ . Und nach Kettenregel hat man dann $\begin{eqnarray} \partial_vf(p)=\nabla f(p+0v)\cdot(0+1v)=\nabla f(p)\cdot v \end{eqnarray}$ . Im ersten Beispiel war $\begin{eqnarray} f'(0,0)=\begin{pmatrix}-2,1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , es wäre also $\begin{eqnarray} f(x)=f(0)+-2x_1+x_2+o(\lVert x\rVert) \end{eqnarray}$ . Es wäre also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \tfrac{f(x)-x_2+2x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} \end{eqnarray}$ gegen 0 geht, wenn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen 0 geht. WolframAlpha zeigt z.B., dass das nicht der Fall ist.

Neue Frage »

Antworten »

Alle Richtungsableitung in (0,0)

Verwandte Themen