unitärer Modul besitzt sich selbst als Erzeugendensystem

27.07.2012, 19:38	Peter20	Auf diesen Beitrag antworten »
unitärer Modul besitzt sich selbst als Erzeugendensystem Hi. Ich erarbeite mir gerade selbst die Thematik der R-Moduln. Dabei bin ich nun auf folgende Bemerkung gestoßen: "Jeder unitäre Modul M besitzt sich selbst als Erzeugendensystem denn m $\begin{eqnarray} /in \end{eqnarray}$ M ist als endliche Linearkombination der Form m=1m darstellbar." Nun habe ich dazu Verständnisfragen bzw. möchte ich erfahren, ob ich das richtig verstehe. m=1m ist ja eines der Axiome vom R-Modul bzw. DAS Axiom, da wir ja von einem unitären R-Modul sprechen, wobei 1 das Einselemt aus dem Ring ist. und da dieses Axiom gilt, ist m auch automatisch eine R-Linearkombination, da in der Def. steht: Sei T={m1,m2,...,mk} eine endliche Teilmenge des R-Modul M. Ein element m aus M is Linearkombination, wenn gilt m= $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^k [latex]m_{i} r_{i} \end{eqnarray}$ [/latex] für geeignete r aus R. als geeignetes r nehmen wir jetz 1. geht die Summe dann immer nur bis k=1? Dies gilt ja gemäß Axiom eines unitären Modul für alle m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M, oder? heißt dies jetzt, dass die in der Def. genannte Teilmenge T gleich meinem Modul M ist? Zum verständnis der Definition(unabhängig von diesem beispiel), kann man dann auch für verschiedene m mit jeweils verschiedenen k nehmen, um die Teilmenge T zu erhalten oder muss es immer bis zum gleichen k gehen?
28.07.2012, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nicht ein eindeutiges Erzeugendensystem, wie man schon an Vektorräumen sieht. Bei Vektorräumen ist die Mächtigkeit eines linear unabhängigen Erzeugendensystems, die Dimension des Vektorraums, eindeutig. Für beliebige Erzeugendensysteme gilt das nicht. Nimm z.b. eine Basis eines Vektorraums, da kannst du beliebig viele Vektoren dazunehmen, und du hast immer noch ein Erzeugendensystem.
29.07.2012, 15:02	Peter20	Auf diesen Beitrag antworten »
ist mein Eintrag denn nun falsch? und ich kann nicht mein Modul M als Teilmenge T also als Erzeugendensystem betrachten? Oder wolltes du, Elvis, mir damit sagen, dass ich auch nur einige m aus M als Erzeugendensystem nehmen kann und nicht komplett mein Modul M.
29.07.2012, 15:13	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, M selbst ist tatsächlich ein Erzeugendensystem, weil für jedes $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ eine Summendarstellung $\begin{eqnarray} m=\sum_{i=1}^k m_ir_i \end{eqnarray}$ existiert und zwar mit $\begin{eqnarray} k=1, \ m_1=m, \ r_1=1 \end{eqnarray}$ wie schon von dir vermutet...

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