Wurzel einer Matrix

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Caro- Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel einer Matrix
Meine Frage:
Hallo,
ich scheitere gerade vor folgender Aufgabe:
Man finde eine Matrix , wobei A= ist.

Meine Ideen:
ich weiß, dass gilt: , aber wir haben bis jetzt immer nur aus A berechnet, und nie anders herum.
Ich vermute, dass es auch irgendwie über die Eigenwerte geht (diese sind hier zweimal 4) allerdings weiß ich nicht, wie genau man da vorgehen muss.
Deshalb wär ich euch sehr dankbar, wenn ihr mir das irgendwie erläutern könntet
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
Hallo,

hattet ihr die Jordan-Normalform schon?

mfg,
Ché Netzer
 
 
Caro- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
Ja...kann ich das damit lösen?!

Meine JNF hier wäre dann :
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
Ja, und darauf kannst du dann die Wurzelfunktion anwenden.
Wendet man eine Funktion auf eine Jordan-Normalform bzw. ein Jordan-Kästchen

an, wird das zu


Du hast dann also und damit .
Caro- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
ok, blöde Frage, aber was wäre in diesem Beispiel dann mein ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
Die Frage formuliere ich mal um zu:
Was ist die Wurzel aus 4? Augenzwinkern

ist erst einmal irgendeine Funktion (die muss zwar auf dem "Spektrum" des Operators definiert sein, aber mit der Spektraltheorie lasse ich dich lieber in ruhe). In diesem Fall möchtest du ja die Wurzel der Matrix bestimmen, also ist die Wurzelfunktion.
Und in den Jordan-Kästchen ist ein Eigenwert, hier also 4.
Caro- Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
D.h. mein


usw.?!
sry...steh grad glaub auf m schlauch verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel einer Matrix
stimmt. Aber mit ist die Ableitung gemeint...

Hattet ihr vielleicht noch andere Werkzeuge eingeführt, um die Wurzel zu bestimmen? So scheint das ja eher nicht bekannt zu sein.
Dummy-Cool Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben das so gelernt. Ist A eine positiv semidefinite quadratische Matrix mit Elementen aus den reellen Zahlen, so ist die Quadratwurzel mit einem Polynom vom Grade < n darstellbar.
Ich weiß nicht, ob ihr diese Aussage schon behandelt habt.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Caro-
sry...steh grad glaub auf m schlauch verwirrt

Dann überlege Dir nochmal, wie die Ableitung der Wurzelfunktion genau aussieht. Diese Funkion ist nicht gleich der Wurzelfunktion und sie kann ebenfalls an der Stelle x=4 ausgewertet werden.
Caro- Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nicht, was hier überhaupt die funktion ist?! was muss ich denn hier ableiten?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchtest ja die Wurzel der Matrix bestimmen. Das bedeutet, du wendest die Wurzelfunktion auf die Matrix an. Das kannst du wie gesagt umschreiben, indem du diese Wurzelfunktion wie beschrieben auf die Jordan-Normalform anwendest.

Generell kannst du auf diese Weise reelle Funktionen auf Matrizen erweitern. (wenn alles wohldefiniert ist)

Möchtest du also bestimmen, schreibst du das als , wobei Jordanblockweise definiert ist, wie oben beschrieben.
In diesem Fall möchtest du bestimmen, also ist die Wurzelfunktion.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall kann man die Wurzel der Matrix auch "zu Fuß" ausrechnen. Mit dem Ansatz



erhält man aus die vier Gleichungen









Dividiert man die letzten beiden Gleichungen, so folgt: . Das setzt man in die ersten beiden Gleichungen ein:





Subtrahiert man diese Gleichungen voneinander, bekommt man

(

Hierin ersetzt man gemäß der dritten Gleichung vom Anfang. Somit hat man ein lineares Gleichungssystem in :





Jetzt können auch in Abhängigkeit von bestimmt werden. Setzt man den Ausdruck für in ein, ergibt sich eine rein-quadratische Gleichung in .
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