Inverse FunktionenTheorem vs. Diffeomorphiesatz....

28.07.2012, 15:15

Mathilim

Inverse FunktionenTheorem vs. Diffeomorphiesatz....

Meine Frage:
Moin
Ich verstehe denn genauen Unterschied dieser zwei Sätze, bzw. welchen man vewenden sollte um zu zeigen, dass eine Fuktion ein Diffeomorphismus ist nicht ganz...
Inverse Funktionen Theorem:
$\begin{eqnarray*} X,Y \text{ Vektorraeume.} \Omega\subset X \text{ offen,} f:\Omega\rightarrow Y C^1, x_0\in\Omega, df(x_0):X\rightarrow Y \text{bijektiv }\Rightarrow \exists \text{ offene Teilmenge } U\subset\Omega, x_0\in U \text{ sodass} V:=f(U)\subset Y \text{ ebenfalls offen ist und }f|_U:U\rightarrow V \text{ ein } C^1-\text{Diffeomorphismus} \end{eqnarray*}$

Diffeomorphiesatz
$\begin{eqnarray*} U\subset X\text{ offen}, f:U\rightarrow Y C^1, f\text{injektiv}, df(x):X\rightarrow Y \text{ bijektiv }\forall x\in U\Rightarrow f(U)\subset Y \text{ ist offen und } f:U\rightarrow V \text{ ist ein }C^1-Diffeomorph. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte immer, ich kann einfach allgemein das Inverse Funktionen Theorem anwenden, indem ich folgendes mache:
1.Schauen ob die Funktion C^1 ist.
2. Die Funktion ableiten, die Determinante der Jacobi Matrix berechnen.
3. Prüfen ob die Determinante für irgend ein $\begin{eqnarray*} x_0\in\Omega \end{eqnarray*}$ 0 wird, wenn nicht ist die Abbildung ja für alle Werte aus dem Wertebereich bijektiv, somit ist f ein Diffeomorphismus????

Mich irritiert jettzt vor allem der Diffeomorphiesatz, und ich weiss nicht was ich mit der dort geforderten injektivität anfangen soll....

Wäre froh wenn mich jemand aufkläre könnte...

Gruss

29.07.2012, 08:39

system-agent

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Zunächst einmal impliziert der Satz über die Umkehrfunktion den Diffeomorphiesatz.

Im Satz über implizite Funktionen startest du mit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ im Definitionsgebiet. Der Satz sagt dir dann, dass es eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt derart, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus ist.
Anders gesagt: Pro Punkt eine offene Menge auf der deine Funktion lokal ein Diffeomorphismus ist.

Im Diffeomorphiesatz startest du mit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die auf der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ definiert ist. Der Satz sagt dir dann, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem kompletten Definitionsgebiet $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Diffeomorphismus ist.
Anders gesagt: Die Funktion ist auf dem kompletten Definitionsgebiet [also nicht nur lokal] ein Diffeomorphismus.

Die vorausgesetzte Injektivität im Diffeomorphiesatz sichert dir, dass die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1}: f(U)\to U \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert.

29.07.2012, 11:37

Mathilim

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Mhh ok, danke.

Heisst das also wenn man zeigen muss, dass eine Funktion eine Diffeomorphe Abbildung beschreibt muss man als erstes zeigen, dass die Ableitung bijektiv ist für alle Elemente aus dem Wertebereich, und dann auch noch zeigen muss dass die Funktion injektiv ist?
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb{R}_+\times (0,1)^2\rightarrow\mathbb{R}_+^3 \phi:=\begin{pmatrix}u(1-v)(1-w)\\uv(1-w)\\uw \end{pmatrix} \det(d\phi(u,v,w))=u^2(1-w) \end{eqnarray*}$
Also ist die Ableitung Bijektiv für alle Elemente aus dem Wertebereich, da die Determinante nie verschwindet....muss ich demfall jetzt noch injektivität zeigen? Wenn ja, wie zeige ich das hier? im eindimensionalen konnte man ja zb einfach schauen ob die funktion streng monton ist...

Gruss

29.07.2012, 13:31

system-agent

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Zitat:

Original von Mathilim
Heisst das also wenn man zeigen muss, dass eine Funktion eine Diffeomorphe Abbildung beschreibt muss man als erstes zeigen, dass die Ableitung bijektiv ist für alle Elemente aus dem Wertebereich, und dann auch noch zeigen muss dass die Funktion injektiv ist?

Ja, sofern du den Diffeomorphiesatz nutzen willst.

Zitat:

Original von Mathilim
$\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb{R}_+\times (0,1)^2\rightarrow\mathbb{R}_+^3 \phi:=\begin{pmatrix}u(1-v)(1-w)\\uv(1-w)\\uw \end{pmatrix} \det(d\phi(u,v,w))=u^2(1-w) \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal fehlt hier die Reihenfolge der Koordinatenbenennung, ich gehe mal von $\begin{eqnarray*} \phi(u,v,w) \end{eqnarray*}$ aus. Dann lautet die gesuchte Determinante allerdings $\begin{eqnarray*} u^2v(1-w) \end{eqnarray*}$ .

Weiter denke ich mal, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ die Null ausgeschlossen wird?
Dann stimmt es, die Determinante ist nie Null und damit das Differential an jedem Punkt bijektiv.

Zitat:

Original von Mathilim
Wenn ja, wie zeige ich das hier?

Mit der Definition.
Angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \phi(u_1,v_1,w_1)=\phi(u_2,v_2,w_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Schreibe auf was dann für 3 Gleichungen gelten müssen und nutze diese, um $\begin{eqnarray*} u_1=u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1=v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1=w_2 \end{eqnarray*}$ zu folgern.
Dann hast du die Injektivität gezeigt.

29.07.2012, 13:44

Mathilim

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Achso, also das ganze dann so betrachten wie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, wobe ich $\begin{eqnarray*} u_1,v_1,w_1 \end{eqnarray*}$ als bekannt betrachte und $\begin{eqnarray*} u_2,v_2,w_2 \end{eqnarray*}$ als unbekannt und dann Das gleichungssystem einfach ganz normal lösen?

zu der Determinante:
Ich glaube das sollte schon stimmen??? Unsere Aufgabe war ein in einer Übung, zu zeigen dass die Determinante $\begin{eqnarray*} u^2(1-w) \end{eqnarray*}$ ist, also ich komm da drauf bei der Reihenfolge $\begin{eqnarray*} \phi(u,v,w) \end{eqnarray*}$ ....

Danke dir!

29.07.2012, 14:38

system-agent

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Zitat:

Original von Mathilim
Achso, also das ganze dann so betrachten wie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, wobe ich $\begin{eqnarray*} u_1,v_1,w_1 \end{eqnarray*}$ als bekannt betrachte und $\begin{eqnarray*} u_2,v_2,w_2 \end{eqnarray*}$ als unbekannt und dann Das gleichungssystem einfach ganz normal lösen?

Nein, du sollst kein Gleichungssystem lösen. Die Logik ist wie folgt:
Angenommen, du hast zwei Punkte $\begin{eqnarray*} (u_1,v_1,w_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (u_2,v_2,w_2) \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \phi(u_1,v_1,w_1)=\phi(u_2,v_2,w_2) \end{eqnarray*}$ . Dann muss schon $\begin{eqnarray*} (u_1,v_1,w_1)=(u_2,v_2,w_2) \end{eqnarray*}$ gelten. Das ist genau die Injektivität nach Definition.

Das heisst im Klartext du nimmst an, dass du Zahlen $\begin{eqnarray*} u_1,v_1,w_1,u_2,v_2,w_2 \end{eqnarray*}$ hast derart, dass die Gleichungen erfüllt sind. Betrachte dann zb die 2. und 3. Gleichung des Systems. Daraus kannst du zb. $\begin{eqnarray*} 1-w_1=1-w_2 \end{eqnarray*}$ folgern. Das impliziert aber $\begin{eqnarray*} w_1=w_2 \end{eqnarray*}$ . Damit machst du dann weiter.

29.07.2012, 16:03

Mathilim

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achsooo oki alles klar dankeschöön!! smile

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