Darstellende Matrix berechnen

28.07.2012, 19:13	Rafael	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix berechnen Hallo. Ich bin mir nicht sicher wie man die darstellende Matrix berechnet. Wir haben also folgendes gegeben: f : R³ -> R³ , -> Av mit $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen soll man nun die Darstellungsmatrix A bezüglich foldender Basen: $\begin{eqnarray} A={(-1,2,1),(3,4,1),(0,1,-1)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B={(1,2,0),(0,1,3),(0,0,1)} \end{eqnarray}$ Die darstellende Matrix lautet $\begin{eqnarray} A'= \begin{pmatrix} 3 & 15 & 1 \\ -4 & -22 & -2 \\ 18 & 74 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie komme ich aber dahin?
28.07.2012, 23:57	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellende Matrix berechnen Berechne zuerst, worauf die Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3} \end{eqnarray}$ abgebildet werden, z.B. $\begin{eqnarray} A\vec{a_1}= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}, etc. \end{eqnarray}$ Dann stellst du das Ergebnis als Linearkombination aus $\begin{eqnarray} \vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3} \end{eqnarray}$ dar: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}=\textcolor{blue}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\textcolor{blue}{-4}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}+\textcolor{blue}{18}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, etc. \end{eqnarray}$ Die nun blau markierten Koeffizienten werden spaltenweise in die darstellende Matrix eingetragen: $\begin{eqnarray} A'= \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{3} & . & .\\ \textcolor{blue}{-4} & . & . \\ \textcolor{blue}{18} & . & . \end{pmatrix}, etc. \end{eqnarray}$
30.07.2012, 00:52	Rafael	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah alles klar. Jetzt versteh ich es! Danke.

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