Konvergenz

28.07.2012, 20:52

Crazy007

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Konvergenz

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Ich muss schauen bei dieser reihe ob konvergenz vorliegt und ggf den grenzwert ausrechnen .

Bitte hilft mir:

(2*(-1)^n *-2)/(n^2)

Danke im voraus

Meine Ideen:
leider keine

28.07.2012, 20:59

DHD

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Hallo,

schau dir mal den Zähler genauer an.
Dann könntest du eine konvergente Majorante und eine konvergente Minorante finden, die netterweise den gleichen Grenzwert haben.

28.07.2012, 21:02

Crazy007

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Kann das hier eine minorante sein?

(2*(-1)^n *-2)/(n^2 +1)

Bin mir nicht sicher .

28.07.2012, 21:08

Cheftheoretiker

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Hi,

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{2\cdot (-1)^n\cdot(-2)}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Wieso fasst du nicht erstmal die 2 im Zähler zusammen? verwirrt

verwirrt

Wenn das die richtige Reihe ist...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{-4\cdot (-1)^n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

28.07.2012, 21:20

Crazy007

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Ich habs jetzt ein wenig mit Leibniz probiert:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{-4}{n^2 +1} = (-1)^n * \frac{-4}{\frac{1}{n^2} +1} = -4 \end{eqnarray*}$

Stimmt es so?

28.07.2012, 21:27

DHD

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Nochmal für mich zur Klarstellung:
Reden wir von $\begin{eqnarray*} \frac{2(-1)^n-2}{n^2} \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{2(-1)^n-2}{n^2} \end{eqnarray*}$
oder von was anderem ?
Mein Hinweis bezog sich auf Ersteres, da das der Term war der im ersten Post stand.
(Auch wenn die Reihe im Text steht, es steht eine Folge da. Wenn eine Reihe gemeint ist sollte man das auch so hinschreiben. Es ist ja insbesondere der Anfang der reihe a priori nicht klar.)

Zähler ist das über dem Bruchstrich.
Am Nenner rumzuspielen macht es hier höchstens schwieriger.

Sollte eine Reihe gemeint sein wäre es sinnvoll sich zu überlegen weche Folgenglieder verschwinden und was das ganze dann mit der hoffentlich bekannten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

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28.07.2012, 21:35

Crazy007

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Das zweite ist richtig. Aber eigentlich musste doch die Reihe gegen 0 gehen oder?

28.07.2012, 21:45

DHD

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Sicher, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{2(-1)^n-2}{n^2} \end{eqnarray*}$ und nicht
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n-2}{n^2} \end{eqnarray*}$ gesucht ist? Und beide sind nicht 0.
Wieso "müsste" die Reihe gegen 0 gehen?

Damit gilt hier der Tipp:

Zitat:

es [ist] sinnvoll sich zu überlegen weche Folgenglieder verschwinden und was das ganze dann mit der hoffentlich bekannten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

Und dein Leibniz von vorher ist aufgrund falscher Reihe damit hinfällig.

28.07.2012, 21:52

Crazy007

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Tut mir leid Grade habe ich gesehen , dass so doch das zweite richtig ist was du gerade gepostet hast. Aber das Problem das ich gerAde hab ist das ich durch Umformung auf den Grenzwert -4 komme. Forme ich falsch um?

28.07.2012, 21:56

DHD

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Der Grenzwert von was ist -4?
Meine Glaskugel ist grade leider auserhäußig (beim Polieren). Wenn ich dir sagen soll wo du dich verrechnest wirst du wohl oder übel die Rechnung posten müssen. (per Mouse-over kannst du meinen Text ansehen und ggf. kopieren.)

28.07.2012, 21:59

Crazy007

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Ich habe doch meinen Ansatz oben gepostet? Vielleicht hast du es nicht gesehen.

28.07.2012, 22:02

DHD

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Du hast viel gepostet, das meiste ging von falschen Annahmen aus. Was meinst du genau?

28.07.2012, 22:06

Crazy007

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Ich meinte meinen 3 Post wo ich -4 rausbekomme.

Aber wenn es falsch ist , kannst mir ja sagen wie ich das genau umformen soll. Ich hänge nämlich an der Aufgabe schon paar stunden und weiss einfach nicht weiter.

28.07.2012, 22:14

Crazy007

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Zitat:

Original von Crazy007
Ich habs jetzt ein wenig mit Leibniz probiert:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{-4}{n^2 +1} = (-1)^n * \frac{-4}{\frac{1}{n^2} +1} = -4 \end{eqnarray*}$

Stimmt es so?

Hier poste ich es nochmal

28.07.2012, 22:17

DHD

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Diesen Post?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{-4}{n^2 +1} = (-1)^n * \frac{-4}{\frac{1}{n^2} +1} = -4 \end{eqnarray*}$

Edit: ja er ist es.
Darauf habe ich bereits geantwortet:

Zitat:

Und dein Leibniz von vorher ist aufgrund falscher Reihe damit hinfällig.

Dort gingst du wohl aufgrund hangman's Post von folgender Reihe aus:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{-4\cdot (-1)^n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Was eine nachvollziehbare Interpretation deines ersten Posts ist, jedoch nicht das was wohl berechnet werden soll.

28.07.2012, 22:24

Crazy007

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Ich könnte ja meine reihe auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{2}{n^2} - \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$

Aber dann würde ja alles gegen 0 gehen oder besser gesagt der grenzwert 0 werden.

28.07.2012, 22:33

DHD

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Du schreibst von einer Reihe, was du als Formel hinschreibst ist aber nur eine Folge.
Ist dir der Unterschied der beiden Begriffe klar?

Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum _{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ kann nur konvergieren wenn die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist (also gegen 0 konvergiert.).

$\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{2}{n^2} - \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$
ist eine Nullfolge da, wie von mir in meinem 1.Post hier angedeutet, man den Zähler so abschätzen kann, dass man je eine gegen 0 konvergente Majorante und Minorante erhält.

Das beweist aber noch nicht die Konvergenz von
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n-2}{n^2} \end{eqnarray*}$ .
Und das berechnen dieser Reihe ist doch das Ziel.

28.07.2012, 23:08

Crazy007

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Wie berechne ich das denn jetzt?

Meine rechnungen habe ich ja jetzt gepostet , weiter weiss ich auch nicht mehr.

28.07.2012, 23:12

Captain Kirk

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Ich zitiere mich mal selbst:

Zitat:

Damit gilt hier der Tipp: Zitat: es [ist] sinnvoll sich zu überlegen weche Folgenglieder verschwinden und was das ganze dann mit der hoffentlich bekannten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

Fang doch mal mit dem ersten an dann schauen wir weiter.

28.07.2012, 23:21

Crazy007

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Mit welchem ersten denn?

28.07.2012, 23:25

DHD

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Zitat:

es [ist] sinnvoll sich zu überlegen weche Folgenglieder verschwinden

28.07.2012, 23:36

Crazy007

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Das Problem ist welche Glieder verschwinden denn jetzt?

28.07.2012, 23:42

DHD

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Für welche n ist $\begin{eqnarray*} (-1)^n * \frac{2}{n^2} - \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$ 0 ?

Und was soll es bitte bringen auf meinen Post statt mit einer Antwort mit einer praktisch wortgleichen Frage zu antworten? Selbstgespräche kann ich allein besser führen.

Außerdem geh' ich jetzt schlafen. Vielleicht will ja jemand anderes übernehmen.

28.07.2012, 23:46

Crazy007

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Für n gegen unendlich.

29.07.2012, 00:10

Che Netzer

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Zitat:

Außerdem geh' ich jetzt schlafen. Vielleicht will ja jemand anderes übernehmen.

Na dann stürze ich mich mal ins Vergnügen smile

smile

Und nein, das ist nicht nur für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ Null. Setze doch mal ein paar Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein, z.B. die Zahlen 1-6. Fällt dir eine Regelmäßigkeit auf, die du dir erklären kannst?

29.07.2012, 11:25

Crazy007

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Ja es scheint eine alternierende Reihe zu sein , aber inwieweit hilft mir das weiter?

29.07.2012, 11:29

Che Netzer

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Hast du die Zahlen denn mal eingesetzt?
So ganz alternierend ist das nämlich nicht. Zumindest nicht so wie man es sich vorstellt.

Die Frage war ja, wann dieser Term bzw. die Summanden Null werden.

29.07.2012, 11:40

Crazy007

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Ich hab jeweils werte für die Glieder eingesetzt und folgendes raus bekommen.

Für n=1 habe ich -4 rausbekommen

n= 2 = 0

n= 3 hab ich -4/9 rausbekommen

Aber was sagt mir das nun?

29.07.2012, 11:49

Che Netzer

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Dann hast du doch schonmal einen Wert, für den der Term Null wird.
Vielleicht hilft es auch, erst einmal nur $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ zu betrachten.
Und wann ist dann $\begin{eqnarray*} (-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2}=0 \end{eqnarray*}$ bzw. wann ist $\begin{eqnarray*} (-1)^n\tfrac2{n^2}=\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

29.07.2012, 11:55

Crazy007

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Für einen geraden Exponenten bei (-1)^n würde 2/n^2 rauskommen.

ABer wie kriege ich die grenzfunktion raus?

29.07.2012, 11:59

Che Netzer

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Was denn bitte für eine Grenzfunktion? Wir betrachten hier eine ganz normale Reihe; die hat höchstens einen Grenzwert.

Naja, jetzt hast du also schonmal heraus, dass $\begin{eqnarray*} (-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Null wird.
Also kannst du diese "Null-Summanden" in der Summe auch weglassen.
Was wird dann also aus
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\Bigl((-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2}\Bigr) \end{eqnarray*}$ ?

29.07.2012, 12:04

Crazy007

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Die funktion geht gegen 0 oder ?

Ich hoffe du wolltest darüber hinaus.

Habe ich hiermit die Konvergenz bewiesen?

29.07.2012, 12:09

Che Netzer

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1. Hier war nie von einer Funktion die Rede. Hier liegt eine Reihe vor. Deren erstes Glied hast du bereits ausgerechnet und ein positives Vorzeichen nehmen die Summanden nie an, die Reihe kann also nicht gegen 0 konvergieren.

2. Worüber wollte ich womit hinaus?

3. Nein, du hast noch gar nichts bewiesen.

Also...
Wir haben die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\Bigl(-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2}\Bigr) \end{eqnarray*}$ .
Und wir wissen, dass jeder Summand mit geradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschwindet. Es bleiben also nur die ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s übrig.
Kannst du die Reihe also so aufschreiben, dass nur über die ungeraden Indices summiert wird?

Aus $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ würde dann z.B. $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=0}^\infty a_{2n+1} \end{eqnarray*}$ werden.

29.07.2012, 12:13

Crazy007

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Zitat:

Original von Che Netzer
1. Hier war nie von einer Funktion die Rede. Hier liegt eine Reihe vor. Deren erstes Glied hast du bereits ausgerechnet und ein positives Vorzeichen nehmen die Summanden nie an, die Reihe kann also nicht gegen 0 konvergieren.

2. Worüber wollte ich womit hinaus?

3. Nein, du hast noch gar nichts bewiesen.

Also...
Wir haben die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\Bigl(-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2}\Bigr) \end{eqnarray*}$ .
Und wir wissen, dass jeder Summand mit geradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschwindet. Es bleiben also nur die ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s übrig.
Kannst du die Reihe also so aufschreiben, dass nur über die ungeraden Indices summiert wird?

Aus $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ würde dann z.B. $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=0}^\infty a_{2n+1} \end{eqnarray*}$ werden.

Ja wenn ich ungerade exponenten nutzen würde :

Dann würde das rauskommen:
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{n^2 } \end{eqnarray*}$

29.07.2012, 12:16

Che Netzer

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Noch nicht ganz.
In $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(-\frac4{n^2}\right) \end{eqnarray*}$ wird ja auch über gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ summiert. Benutze doch meinen Hinweis für allgemeines $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und setze dort $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ ein. Du solltest am Ende etwas im Quadrat zu stehen haben, was nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

29.07.2012, 12:39

Crazy007

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Wenn ich eine 2 für n einetze dann bekomme ich -1 raus.

Stimmt es so?

29.07.2012, 12:47

Che Netzer

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Wovon redest du? Für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (so wie 2) kommt für den Summanden Null heraus.

Jetzt versuche doch, die Reihe mit den ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s aufzustellen.
Wie gesagt: Schreibe
$\begin{eqnarray*} \sum_ {n=0}^\infty a_{2n+1} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a_{2n+1}=\dots \end{eqnarray*}$ ? Und deswegen kannst du die Summe wie schreiben?

29.07.2012, 16:15

Crazy007

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Wie schreibe ich das als 2n+1

Soll ich die Summe mal 2 nehmen.

29.07.2012, 16:27

Che Netzer

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Wer hat denn hier von einer Multiplikation gesprochen?

Also nochmal langsamer:
Wir haben die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\Bigl((-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2}\Bigr) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt haben wir festgestellt, dass die Summanden für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschwinden. Also können wir diese Terme auch einfach weglassen. Dazu schreiben wir die Summe so um, dass nur die ungeraden Zahlen berücksichtigt wird.
Dazu schreiben wir
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\dots \end{eqnarray*}$ .
An die Stelle von ... kommt der Term von eben mit einer ungeraden Zahl. Diese ungeraden Zahlen können wir per $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ abzählen, da wir bei Null starten:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot0+1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot1+1=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot2+1=5 \end{eqnarray*}$ ,
das funktioniert also. Jetzt setzen wir also $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ ein. Das Ergebnis schreiben wir an die Stelle von ... in der obigen Summe.

Was du jetzt also zu tun hast:
- Schreibe $\begin{eqnarray*} (-1)^n\tfrac2{n^2}-\tfrac2{n^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Ersetze einfach das Zeichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ und vereinfache.
- Setze das, was du damit erhältst, an die markierte Stelle ein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty{\color{red}\text{hier}} \end{eqnarray*}$ .

Diese Reihe entspricht nun genau der Reihe, die wir eigentlich untersuchen, da wir nur Summanden entfernt haben, die 0 sind.
Wenn wir dann diese neue Darstellung unserer Reihe haben, werden wir zum Beweis der Konvergenz das Majorantenkriterium benutzen können (als kleine Vorschau).

29.07.2012, 16:36

Crazy007

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Ich habe jetzt mal eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^2n+1 *\frac{2}{(2n+1)^2} - \frac{2}{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Oh man wie vereinfache ich das?

Bitte hilf mir ein wenig.

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