Konvergenz - Seite 2

29.07.2012, 16:40

Che Netzer

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Ich schätze, das $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ sollte im Exponenten stehen, da brauchst du geschweifte Klammern:
(-1)^{2n+1}.

Naja, ich verstehe schon, was du meinst. So stimmt das auch schonmal
Jedenfalls solltest du jetzt überlegen, ob du etwas aus dem $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ machen kannst. Tipp: Wann nimmt dieser Term welchen Wert an und welcher Fall liegt vor?

Danach kannst du das ganze als einen einzigen Bruch schreiben.

30.07.2012, 01:45

Crazy007

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Aber was kann ich jetzt daraus machen ?

Für ungerade exponenten ergibt es -1 und ungerade + 1.

Ich brauche vielleicht noch einen genaueren termin .
Ich übe ja nur an der aufgabe als klausurvobereitug.
Es ist ja keine Hausaufgabe ,alsokannst du mir ja auch bisschen genauer helfen oder?

30.07.2012, 01:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Crazy007
Für ungerade exponenten ergibt es -1 und ungerade + 1.

Du meintest sicher "gerade" beim zweiten mal.
Naja, wir haben die Summe ja so umgeschrieben, dass der Exponent immer was ist? Gerade oder ungerade?
Und dann setze das Ergebnis dafür in den Summanden ein.

Zitat:

Ich brauche vielleicht noch einen genaueren termin .
Ich übe ja nur an der aufgabe als klausurvobereitug.
Es ist ja keine Hausaufgabe ,alsokannst du mir ja auch bisschen genauer helfen oder?

Einen Termin?
Naja, wann schreibst du die Klausur denn? Ich sehe da nämlich ehrlich gesagt noch einige Probleme; z.B. was das Verständnis von Reihen angeht (bzw. den Unterschied zu "gewöhnlichen" Folgen).

Und wenn ich dir genauer helfen würde, würde dir das eigentlich auch nicht helfen. Es geht ja darum, dass du das Verfahren verstehst und dazu solltest du auch eine Aufgabe einigermaßen selbstständig rechnen können.
Ich bin mir auch schon nicht sicher, ob du den bisherigen Verlauf der Rechnung noch selbst rekonstruieren könntest, manches habe ich ja doch vorgegeben und damit vielleicht schon zu viel verraten.

Ich erläutere mal, wie ich mir den Rest vorstellen würde:
1. Du schreibst du Summe in vernünftiger Form
2. Ich erläutere dir, wieso man diese Summe kurzzeitig auf eine andere zurückführen kann
3. Du findest eine konvergente Majorante für diese Summe (und hast damit die Konvergenz bewiesen)
4. Ich rege mit einer anderen Summe mit bekanntem Grenzwert und einer Zerlegung zur Berechnung des Grenzwertes an
5. Du berechnest diesen schließlich
Danach wäre es vielleicht ganz praktisch, wenn du die ganze Prozedur nochmal in eigenen Worten zusammenfasst; es bringt ja nichts, wenn du die eigentliche Vorgehensweise nicht nachvollziehen kannst.

Als erstes also wie oben gesagt zu den Exponenten. Dann kannst du die Reihe etwas schöner schreiben. (das ist Punkt 1 der Liste)

30.07.2012, 02:05

Crazy007

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Ich schreibe die Klausur in etwa 3-4 wochen.

Kann es sein , dass es sich bei dem (2n+1)^2 im Nenner um eine binomische formel handelt?

Dann wäre das ja im nenner ( 2n^2 +4n +1)

30.07.2012, 02:07

Che Netzer

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Zur Klausur: Was musst du denn dafür noch alles lernen? Und stehen noch weitere Prüfungen an?

Zur Aufgabe: Um den Nenner kümmer dich erstmal nicht, den wollen wir später abschätzen.
Jetzt ist erstmal der Zähler entscheidend:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}\cdot2-2 \end{eqnarray*}$ .
Wie kannst du diesen Zähler vereinfachen?

30.07.2012, 02:10

Crazy007

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2 -2 ergibt ja 0.

Dann würde nur noch ( -1)^(2n+1) stehen bleiben oder?

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30.07.2012, 02:12

Che Netzer

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Du solltest beachten, was womit verrechnet wird:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}\cdot2-2=\Bigl((-1)^{2n+1}\cdot2\Bigr)-2 \end{eqnarray*}$ .
Und nicht $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}+(2-2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}\cdot(2-2) \end{eqnarray*}$ .

30.07.2012, 02:15

Crazy007

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Ich bin mir nicht sicher , aber dann müsste es so lauten:

(-2)^(2n+1) -2

Ist es so richtig?

30.07.2012, 02:18

Che Netzer

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Nein, du kannst einen Faktor nicht in die Potenz mit hineinziehen.

Ich habe ja eben gefragt, wann $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ welche Werte annimmt und was dann $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Von mir aus schreibe es auch als $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}=\left((-1)^2\right)^n\cdot(-1) \end{eqnarray*}$ . Was ergibt das also?
Dann kannst du das Ergebnis einsetzen in $\begin{eqnarray*} \Bigl((-1)^{2n+1}\cdot 2\Bigr)-2 \end{eqnarray*}$ .

30.07.2012, 02:24

Crazy007

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Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, du kannst einen Faktor nicht in die Potenz mit hineinziehen.

Ich habe ja eben gefragt, wann $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ welche Werte annimmt und was dann $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Von mir aus schreibe es auch als $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}=\left((-1)^2\right)^n\cdot(-1) \end{eqnarray*}$ . Was ergibt das also?
Dann kannst du das Ergebnis einsetzen in $\begin{eqnarray*} \Bigl((-1)^{2n+1}\cdot 2\Bigr)-2 \end{eqnarray*}$ .

Dann würde das so werden ( (-1)^2 )^n * (-2) ) -2

Ich hoffe jetzt ist es richtig?

30.07.2012, 02:26

Che Netzer

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Ja, das stimmt zumindest. Jetzt haben wir also
$\begin{eqnarray*} \Bigl(\left((-1)^2\right)^n\cdot(-2)\Bigr)-2 \end{eqnarray*}$
im Zähler.
Und kannst du jetzt $\begin{eqnarray*} \left((-1)^2\right)^n \end{eqnarray*}$ noch weiter vereinfachen?

30.07.2012, 02:28

Crazy007

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Ja ich könnte das so schreiben:

(-1)^(2n) aber hilft mir das weiter?

30.07.2012, 02:30

Che Netzer

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Ersteinmal nichts.
Bleiben wir also bei $\begin{eqnarray*} \left((-1)^2\right)^n \end{eqnarray*}$ . Hier haben wir zwei Potenzen. Löse doch zunächst die innere auf, also das, was zwischen den äußeren Klammern steht.

30.07.2012, 02:32

Crazy007

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Aha das wäre dann (1)^n.

Was kann ich weiter machen?

30.07.2012, 02:33

Che Netzer

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Das stimmt schonmal.
Und was ist jetzt $\begin{eqnarray*} 1^n \end{eqnarray*}$ ?

30.07.2012, 02:35

Crazy007

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Das kann ja eigentlich nur 1 sein oder ?

Dann hätte ich ja dann stehen:

( -2) -2 im zähler also -4.

30.07.2012, 02:39

Che Netzer

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Ja, genau so ist es.
Also haben wir jetzt die Reihe als
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{-4}{(2n+1)^2}=-4\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$
geschrieben.

Wir wissen außerdem, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Jetzt ist es aber so, dass ein einzelner Summand nichts an der Konvergenz einer Reihe ändert: Der Wert bleibt endlich, egal ob man ihn mitschreibt oder nicht.
Also ist unsere Reihe genau dann konvergent, wenn
$\begin{eqnarray*} 4\sum_{n={\color{red}1}}^\infty\frac1{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$
konvergiert. (das Vorzeichen ist bei der Konvergenz natürlich auch egal)
Hierzu benutzen wir das Majorantenkriterium. Kannst du den Nenner $\begin{eqnarray*} (2n+1)^2 \end{eqnarray*}$ jetzt so verkleinern (und damit den Bruch vergrößern bzw. die Reihe nach oben abschätzen), dass du die zuletzt angegebene Reihe auf die Reihe zurückführen kannst, deren Konvergenz bekannt ist? (also die mit $\begin{eqnarray*} \tfrac1{n^2} \end{eqnarray*}$ )

30.07.2012, 02:48

Crazy007

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Puuh jetzt wirds schwierig .

Kann ich als Majorante :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n^2} \end{eqnarray*}$ nehmen?

30.07.2012, 02:50

Che Netzer

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Jein. Das ist tatsächlich eine Majorante, aber eigentlich hätte ich an $\begin{eqnarray*} (2n+1)^2\geq(2n)^2=4n^2 \end{eqnarray*}$ gedacht.

Naja, das spielt aber keine Rolle.
Wir haben also
$\begin{eqnarray*} 4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}\leq4\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n^2} \end{eqnarray*}$ .
Folgt daraus schon, dass unsere Reihe konvergiert?

30.07.2012, 02:53

Crazy007

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Eigentlich kann ich ja dadurch sagen , dass die funktion konvergiert oder ?

30.07.2012, 03:01

Che Netzer

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Die Reihe. Ja, das stimmt.

Damit haben wir den ersten Teil der Aufgabe gelöst: Die Konvergenz der Reihe ist bewiesen.
Um das klar von der Berechnung des Grenzwertes abzutrennen, eine kurze Anmerkung:

Du hast dich ja recht schwer getan, $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Dazu solltest du dir unbedingt merken:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1}=-1 \end{eqnarray*}$
für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ gerade ist (gerader Exponent: 1) und $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ ungerade (ungerader Exponent: -1).

Jetzt wollen wir also den Wert der Reihe
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$
bestimmen.
Wie bereits erwähnt, haben wir ja jetzt nur ungerade Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ im Nenner quadriert.
Wenn wir dazu noch das gleiche für gerade Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ addieren, haben wir diese Summe für alle Zahlen, d.h.
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2}+(-4)\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=-4\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ .
Links summieren wir den Term $\begin{eqnarray*} \tfrac1{(\dots)^2} \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden natürlichen Zahlen auf und dann über alle geraden. Also ist es das gleiche, als würden wir ihn über alle natürlichen Zahlen summieren.
Jetzt ist folgendes zu tun/zu wissen:
1. Welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ ? Das kannst du nachschlagen, der Wert ist allgemein bekannt.
2. Forme $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=1}^\infty\tfrac1{(2n)^2} \end{eqnarray*}$ so um, dass du den Wert aus der obigen Frage hier auch anwenden kannst (mit einem Faktor).
3. Setze diese beiden Werte in die obige Gleichung ein.
4. Forme die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$ um.

30.07.2012, 03:05

Crazy007

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1/n^2 = 0 oder ?

Dann geht doch auch 1/2n^2 auch gegen 0 oder?

Wie berechne ich dann den Wert?

30.07.2012, 03:09

Che Netzer

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Die Folge geht gegen 0: $\begin{eqnarray*} \tfrac1{n^2}\to0 \end{eqnarray*}$ . (aber es ist auch nicht $\begin{eqnarray*} \tfrac1{n^2}=0 \end{eqnarray*}$ )
Die Reihe darüber hat einen positivien Wert:
$\begin{eqnarray*} \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\dotsb>0 \end{eqnarray*}$ .
Wir summieren ja nur über die Glieder der Folge, die gegen 0 geht.
Die Summanden konvergieren also gegen 0, aber deswegen muss die Summe davon noch lange nicht 0 sein.

Na gut, da der Wert nicht bekannt ist, nehme ich dir das Nachschlagen ab:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ .
(Den Beweis kann man über Fourier-Transformationen führen, das machen wir jetzt aber nicht (!) )

Wenn jetzt verständlich ist, wieso das nicht Null ist, kannst du mit Schritt 2 fortfahren.

30.07.2012, 12:20

Crazy007

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Zitat:

Original von Che Netzer
Die Folge geht gegen 0: $\begin{eqnarray*} \tfrac1{n^2}\to0 \end{eqnarray*}$ . (aber es ist auch nicht $\begin{eqnarray*} \tfrac1{n^2}=0 \end{eqnarray*}$ )
Die Reihe darüber hat einen positivien Wert:
$\begin{eqnarray*} \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\dotsb>0 \end{eqnarray*}$ .
Wir summieren ja nur über die Glieder der Folge, die gegen 0 geht.
Die Summanden konvergieren also gegen 0, aber deswegen muss die Summe davon noch lange nicht 0 sein.

Na gut, da der Wert nicht bekannt ist, nehme ich dir das Nachschlagen ab:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ .
(Den Beweis kann man über Fourier-Transformationen führen, das machen wir jetzt aber nicht (!) )

Wenn jetzt verständlich ist, wieso das nicht Null ist, kannst du mit Schritt 2 fortfahren.

$\begin{eqnarray*} -2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\pi a^2}{6} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt es so?

30.07.2012, 12:23

Crazy007

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tschuldigung das a gehört natürlich nicht hin.

30.07.2012, 12:27

Che Netzer

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Was möchtest du denn damit überhaupt darstellen?

Wir haben
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$
Und wollen daraus
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2} \end{eqnarray*}$
bestimmen.

Dazu musst du den Faktor 2 erst aus der Potenz ziehen, dann das Ergebnis aus der Summe.

30.07.2012, 12:41

Crazy007

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Zitat:

Original von Che Netzer
Was möchtest du denn damit überhaupt darstellen?

Wir haben
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$
Und wollen daraus
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2} \end{eqnarray*}$
bestimmen.

Dazu musst du den Faktor 2 erst aus der Potenz ziehen, dann das Ergebnis aus der Summe.

$\begin{eqnarray*} -4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2} <br /> <br /> = -1 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es ist richtig.

30.07.2012, 12:44

Che Netzer

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Einigermaßen. Wieso steht das Summenzeichen denn noch da. Diese Summe $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{n=1}^\infty\tfrac1{n^2} \end{eqnarray*}$ ist genau $\begin{eqnarray*} \tfrac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ .
Also ist
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=-\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=? \end{eqnarray*}$

Naja, eigentlich stand es bei dir ja schon da...

30.07.2012, 12:48

Crazy007

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Ist das ergebnis jetzt = -pi^2 / 6 ?

30.07.2012, 13:06

Che Netzer

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Ja, das stimmt jetzt.
Wir haben also
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} -4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=-\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt haben wir ja außerdem die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{-4}{(2n+1)^2}-4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=-4\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Der Wert der linken Reihe ist gesucht. Jetzt kannst du unsere bisherigen Ergebnisse in diese Gleichung einsetzen.

30.07.2012, 13:11

Crazy007

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Das wäre dann -4pi^2/6.

ABer warum haben wir diese beiden Reihen subtrahiert?

Das habe ich nicht so ganz verstanden.

30.07.2012, 13:13

Che Netzer

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Was wäre $\begin{eqnarray*} -4\tfrac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ ?
Setze doch einfach alles in die Gleichung ein und schreibe diese dann auf.

Und wir haben die beiden Reihen mit dem Faktor -4 addiert, um über alle Zahlen summieren zu können. Den Wert für die dadurch entstehende Reihe kennen wir nämlich und den Wert des anderen Summanden können wir darauf zurückführen.

30.07.2012, 13:19

Crazy007

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Gekürzt wäre das :

$\begin{eqnarray*} \frac{-2*pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

30.07.2012, 13:44

Che Netzer

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Es bleibt immer noch die Frage, was du damit überhaupt meinst.
Und die Gleichung mit den eingesetzten Werten hast du auch noch nicht aufgeschrieben.

30.07.2012, 13:45

Crazy007

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Tut mir leid icg glaube ich verstehe im moment nicht so ganz was du meinst.

30.07.2012, 13:53

Che Netzer

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Na gut...
Wir haben folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{-4}{(2n+1)^2}-4\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=-4\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ .
Die Werte für die zweite und die dritte Reihe, die darin vorkommen, kennen wir bereits. Diese sollst du jetzt einsetzen. Das ist wie in $\begin{eqnarray*} a+b=-4c \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bekannt sind.

30.07.2012, 14:04

Crazy007

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Ok das ergebnis wäre für die erste reihe dann :

-3pi^2/6

30.07.2012, 14:17

Che Netzer

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Ja, das stimmt. Gekürzt also $\begin{eqnarray*} -\tfrac{\pi^2}2 \end{eqnarray*}$ .

Aber da ich doch einiges vorsagen musste und das zur Klausurvorbereitung nicht sehr hilfreich sein dürfte:
Versuche nochmal, das, was wir jetzt getan haben, selbst wiederzugeben.
Also den Konvergenzbeweis und die Berechnung des Grenzwertes.

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