Konturintegration

28.07.2012, 22:29

mango_monkey

Konturintegration

Hallo,
hoffe, dass ich im richtigen Forum für Analysis bin...
Ich lese gerade Roger Penroses Buch "The Road To Reality". Dort wird die komplexe Konturintegration besprochen und als beispiel die Funktion f(x) = 1/z verwendet:
$\begin{eqnarray*} \oint_C \! \frac{1}{z} \, dx = 2\pi i \end{eqnarray*}$
Allerdings verstehe ich nicht ganz, was mir diese Lösung nun sagt: Ich hätte erwartet, dass, wie bei der normalen Integration eine Funktion g(x) zurückgegeben wird, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} g'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$
Aber g'(x) - heißt die Ableitung von g - ist 0.
Was sagt mir der Wert 2 * pi * i und was habe ich bezüglich der Konturintegration falsch verstanden?
Grüße
mango_monkey

29.07.2012, 00:26

Che Netzer

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RE: Konturintegration
Hallo,

ja, ich bin mir ziemlich sicher, dass du hier im richtigen Forum bist; Schulmathematik dürfte das auf keinen Fall sein Augenzwinkern

Die Kurven- bzw. Konturintegration hat im Komplexen jedenfalls noch ein paar Gemeinheiten auf Lager.
Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine geschlossene (stückweise stetig differenzierbare) Kurve um 0 ist.
Nun könnte man folgendes erwarten:
Wenn eine Funktion eine Stammfunktion hat und über eine Kurve integriert wird, dann dürfte das Integral die Differenz der Werte der Stammfunktion an den beiden Endpunkten sein:
$\begin{eqnarray*} \int_a^bf'(z)\mathrm dz=f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \textstyle\int_a^b \end{eqnarray*}$ hier irgendeine Kurve von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ meint.
Wie im Reellen bekannt.
Im Grunde ist es auch genau so, aber $\begin{eqnarray*} \tfrac1z \end{eqnarray*}$ hat keine Stammfunktion (wichtig!).
Oder zumindest nur lokal: Die $\begin{eqnarray*} \mathrm e \end{eqnarray*}$ -Funktion ist im Komplexen bekanntlich $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch im Imaginärteil. Wenn man also mit dem Logarithmus einmal komplett um den Nullpunkt herumwandert, erhält man einen anderen Funktionswert als den, mit dem man gestartet hat, obwohl man wieder am selben Punkt landet. Daher kann man den Logarithmus nicht ganz allgemein definieren, der wäre nicht mehr eindeutig (da die Exponentialfunktion nicht mehr injektiv ist).

Wenn wir also $\begin{eqnarray*} \tfrac1z \end{eqnarray*}$ auf einer Kurve um 0 integrieren wollen, kann man dafür nicht einfach die Stammfunktion zur Hand nehmen und 0 herausbekommen.

Anschaulich ist der Logarithmus hier aber sehr gut geeignet: Wenn man das Argument der Exponentialfunktion wie gesagt um $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ erhöht, verändert das nichts. Und wie von der Polardarstellung (d.h. $\begin{eqnarray*} z=r\mathrm e^{\mathrm i\phi} \end{eqnarray*}$ ) zu erschließen, wird dieses $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bei einem ganzen Kreisumlauf (d.h. natürlich auch beim Durchlaufen einer geschlossenen Kurve um 0) um $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ erhöht. Dies "merkt der Logarithmus" beim Integrieren und da sich der Exponent in der Exponentialfunktion um $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ erhöht hat, gibt dessen Umkehrfunktion für das Integral auch $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ aus.

Das war jetzt aber natürlich kein Beweis für den Wert des Integrals, aber zur Veranschaulichung dürfte es genügen.
Den richtigen Beweis erhält man mit dem Satz von Cauchy (bzw. der Cauchy'schen Integralformel) oder allgemeiner mit dem Residuensatz.

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage jetzt. Wenn du allgemein Probleme mit der Kurven-/Konturintegration hast, frag ruhig nochmal nach Augenzwinkern

mfg,
Ché Netzer

29.07.2012, 11:38

mango_monkey

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Erstmal vielen Dank für deine ausführiliche Antwort. Freude

Also gibt das Konturintegral nur noch an, durch welchen Wert sich die möglichen Werte des Logarithmus in diesem Falle unterscheiden?
Ich glaube, irgendetwas verstehe ich nicht ganz. Was könnte man nun zum Beispiel mit der Lösung $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ machen? Könnte man für
$\begin{eqnarray*} g(z) = \oint_C \frac{1}{z} dz \end{eqnarray*}$
nicht $\begin{eqnarray*} \log(z) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \log(z) + 2 \pi n \end{eqnarray*}$ angeben?
Übrigens: Das $\begin{eqnarray*} _C \end{eqnarray*}$ kommt im Buch eigentlich nicht vor, aber an anderen Orten wie http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration wird es ständig ohne Erklärung verwendet, sodass ich dachte, dass das dazugehört? Im Buch steht lediglich $\begin{eqnarray*} \oint \frac{1}{z} dz = 2 \pi i \end{eqnarray*}$ .

29.07.2012, 11:46

Che Netzer

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Das mit dem Logarithmus war nur zur Veranschaulichung, allgemein integrierst du einfach eine Funktion über eine Kurve, wie im Reellen auch schon.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(z) = \oint_C \frac{1}{z} dz \end{eqnarray*}$

Wie soll das denn funktionieren? Das Integral ist doch eine Konstante und nicht von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängig.

Und was möchtest du mit dem Integralwert machen? Das ist einfach nur eine Zahl, so wie $\begin{eqnarray*} \textstyle\int_0^1x\mathrm dx=\tfrac12 \end{eqnarray*}$ .

29.07.2012, 12:55

mango_monkey

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Es gibt doch bestimmte und unbestimmte Integrale:
$\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_a^b \end{eqnarray*}$ .
Das unbestimmte gibt normalerweise eine Stammfunktion zurück, das bestimmte misst den "Flächeninhalt" eines Segmentes. Heißt das, dass Konturintegration bestimmt ist? Die Stammfunktion hängt nämlich normalerweise (reellerweise) schon von z ab.
Aber welchen Abschnitt "misst" diese bestimmte Konturintegration dann? Oder verstehe ich das grundsätzlich falsch?

Was ich damit machen will, weiß ich leider noch nicht so genau, das kommt eben aus dem Text nicht so gut raus. Das ist ja eins der Probleme: Ich weiß bisher gar nicht, was ich mit $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ anfangen soll und was er überhaupt darstellt...

29.07.2012, 13:07

Che Netzer

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Unbestimmte Integrale kenne ich eigentlich sowieso nur aus dem Reellen, mit eindimensionaler Variable.
Ja, das Kurvenintegral gibt auch eine Art Fläche zurück. Das würde ich mir aber nicht so direkt vorstellen. Bei dieser "Konturintegration" läufst du einen bestimmten Weg ab (bzw. eine Kurve, deswegen auch Kurvenintegral) und integrierst auf diesem den Integranden. Im eindimensionalen Reellen mit Intervallen ist dieser Weg einfach die geradlinige Verbindungsstrecke von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt aber Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtest, kannst du auf der zweidimensionalen Grundfläche natürlich auch noch andere Wege in Betracht ziehen. Du kannst dir das als eine Art "Mauer" vorstellen, die entlang des Weges verläuft und die Höhe entsprechend des Funktionswertes hat. Die Fläche dieses Stücks wird dann bei der Integration berechnet.
Im Komplexen ist das aber natürlich etwas schwieriger vorzustellen.
Hier kann man auch schwer eine Stammfunktion wie $\begin{eqnarray*} \textstyle\int_0^zf(s)\mathrm ds \end{eqnarray*}$ definieren, da der Integrationsweg oft den Wert des Integrals mitbestimmt.

Und mit dem Wert $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ brauchst du erstmal gar nichts anzufangen.
Ich wüsste auch nicht, wie man sich diesen Integralwert vorstellen sollte, insbesondere da der Integrationsweg ja nicht eindeutig ist.

Eigentlich reicht folgendes:
Wenn man einmal um den Nullpunkt läuft (und zwar positiv orientiert, d.h. gegen den Uhrzeigersinn) und dabei $\begin{eqnarray*} \tfrac1z \end{eqnarray*}$ integriert, dann erhält man $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ .
Für Kreislinien könnte ich dir das noch explizit zeigen, wenn du möchtest. Für allgemeine Kurven würde ich die Cauchy-Formel bemühen.

29.07.2012, 13:11

mango_monkey

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Ok, danke. Ich bin davon ausgegangen, dass das genau so funktioniert wie beim reellen Gegenstück.
smile

29.07.2012, 13:17

Che Netzer

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Naja, wenn du im Komplexen ein reelles Gegenstück suchst, solltest du lieber $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffassen, das ist näher dran (zumindest, was die Vorstellung angeht).
Da ist das mit den Stammfunktionen und Integrationswegen ja auch problematisch.

Es gibt aber auch Fälle, bei denen die Integration unabhängig von der gewählten Kurve ist, da kann man tatsächlich etwas wie $\begin{eqnarray*} \int_a^zf(s)\mathrm ds=\int_\gamma f(s)\mathrm ds \end{eqnarray*}$ definieren, wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine beliebige Kurve von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist.

Aber im allgemeinen solltest du dir unter Kontur- bzw. Kurvenintegral einfach "vorstellen", dass eine Funktion entlang eines bestimmten Weges integriert wird.
Also keine Verbildlichung (jedenfalls kenne ich keine) und im allgemeinen auch keine Stammfunktion etc.

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