Herleitung Taylorentwicklung

29.07.2012, 01:25	Harmonico	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Taylorentwicklung Meine Frage: Hallo Zusammen, ich beschäftige mich aktuell mit der Approximation von Funktionen durch Taylorpolynome im Zuge meiner Vorbereitung auf das im Oktober beginnende Physikstudium. Bei meiner Recherche bin ich auf diverse Formen der Herleitung gestoßen, welche weitestgehend auch gut nachvollziehbar waren. Nur die folgende Herleitung, die ich auf einem großen Mathematikportal gefunden habe, ist mir nicht ganz schlüssig: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/print.php?sid=598 Das Verständnisproblem beginnt bereits am Anfang des Skripts bei der Formel: $\begin{eqnarray} f(x)=f(0)+\int_0^x \! f'(t) \, dt \end{eqnarray}$ über deren Ursprung ich mir nicht ganz im klaren bin. Soweit wie ich das sehe, erhält man sie über den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung, allerdings sind alle Versuche meinerseits gescheitert, aber der Vollständigkeit halber Poste ich nochmal meinen Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_0^x \! f(t) \, dt = F(x)-F(0)<br /> F(x)=F(0)+ \int_0^x \! f(t) \, dt \end{eqnarray}$ Dann habe ich auf beiden Seiten der Gleichung differenziert $\begin{eqnarray} f(x)=f(0)+ \frac{d(\int_0^x \! f(t) \, dt)}{dt} \end{eqnarray}$ Weiter komme ich leider nicht, evtl. ist mein Ansatz auch komplett falsch, denn meines Wissens gilt die Beziehung: $\begin{eqnarray} \int_0^x \! f'(t) \, dt =\frac{d(\int_0^x \! f(t) \, dt)}{dt} \end{eqnarray}$ Ja nicht. Wäre wirklich super nett, wenn sich jemand kurz die Zeit nehmen würde um mir bei meinem Problem zu helfen. Vielen Dank im Voraus! Gruß Meine Ideen: Siehe Oben.
29.07.2012, 01:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstehe bist du in der zweiten Zeile schon fertig, wenn du statt F:= f setzt und damit f := f'. Desweiteren ist (F(0))' = 0, weil eine Konstante abgeleteitet 0 ist. Ein Integral abzuleiten macht man "gewöhnlich" über den Hauptsatz der Integralrechnung, man gewinnt dadurch also nicht wirklich was.
29.07.2012, 02:14	Harmonico	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erst einmal für deine schnelle Antwort! Also handelt es sich dabei mehr um eine Definitionssache, aber was genau ist der Grundgedanke dahinter, in verbindung mit Taylorpolynomen?
29.07.2012, 02:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gleich weg, aber die grobe Idee ist: Wir starten mit dem Hauptsatz: Wir hatten die Funktion f die wir approximieren wollen, und haben nun praktisch ein Integral über die Ableitung stehen. Über partielle Integration können wir immer eine höhere Ableitung stehen haben und immer wieder die Gleichheit mit der ursprünglichen Funktion. Die ganzen Randterme bei der partiellen Integration sorgen dann für das Taylorolynom. Ich weiß nicht ob es das ist was du hören wolltest, eine ganz bildliche Vorstellung habe ich von der Methode gerade nicht.
29.07.2012, 18:13	Harmonico	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, danke das du dir kurz die Zeit genommen hast mir den Grundgedanken hinter dieser Form der Herleitung zu erläutern, damit wird schon einiges klarer. Ich habe jetzt mal versucht weiter zu arbeiten: $\begin{eqnarray} f(x)=f(0)+\int_0^x \! f'(t) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^x \! uv' =uv-\int_0^x \! u'v \end{eqnarray}$ dabei wird natürlich $\begin{eqnarray} u=f'(t) \end{eqnarray}$ gewählt da das Polynom ja durch eine Reihe von höheren Ableitungen ausgedrückt werden soll. Was ich noch nicht ganz nachvollziehen kann, ist warum zu $\begin{eqnarray} v'=1 \end{eqnarray}$ nach der Integration über t $\begin{eqnarray} v=t-x \end{eqnarray}$ als Stammfunktion von v' gewählt wird. Ich weiss das es zu jeder Funktion eine unendliche Anzahl von Stammfunktionen gibt, da die Integrationskontsante C beim differenzieren wieder eliminiert wird, doch warum wird hier gerade C=-x gesetzt?
29.07.2012, 18:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwer zu motivieren, warum man es so wählt, denn: es kommt das raus, was man sich erhofft. Bei deiner partiellen Integration fehlt die Auswertung, und das ist der Grund für die Wahl von v. Wir kommen in die Situation $\begin{eqnarray} [f'(t) v]^x_0 \end{eqnarray}$ auszuwerten. Probieren wir (I) v = t, was die kanonische Wahl wäre, die Konstante wäre 0, dann $\begin{eqnarray} [f'(t) v]^x_0 = f'(x) \end{eqnarray}$ und das ist nicht was Taylor will. Wir wollen die Ableitungen alle an einem Startpunkt haben, und nicht f' in Abhängigkeit von x betrachten. (II) Wählen wir aber v = t-x, so erhalten wir $\begin{eqnarray} [f'(t) v]^x_0= f'(0)x \end{eqnarray}$ Das ist was wir wollen!
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29.07.2012, 18:43	Harmonico	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das konnte ich gut nachvollziehen, damit hast du gleichzeitig noch eine andere Frage von mir beantwortet, vielen Dank für die verständliche Erklärung!

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