Tensor, Tensorprodukt

29.07.2012, 07:37

Monoid

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Tensor, Tensorprodukt

Hallo liebes Forum,
Ich beschäftige mich momentan mit Tensoren, und will leider nicht verstehen was sie sind, auf wikipedia wird es zwar erklärt, aber um zu verstehen was ekn Tensor ist, braucht man das Tensorprodukt, und dafür die Tensoren. unglücklich

unglücklich

Kann mir jemand eine Definition zeigen, die man verstehen kann?

29.07.2012, 08:35

Bernhard1

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Hallo Mmm,

der Begriff des Tensors stammt ursprünglich aus der Physik und wozu man dort Tensoren braucht, wird vielleicht am leichtesten anhand des Spannungs- oder auch Elastizitätstensors klar. Wird auf einen Festkörper ein Druck oder eine Kraft ausgeübt (z.B. Gewicht auf Plastilinkugel), so verteilen sich die Kräfte innerhalb des Festkörpers nicht immer in die gleiche Richtung, wie sie von außen angewendet wird. Zur Beschreibung dieser Richtungsänderungen wird der Elastizitäts-, bzw. Spannungstensor (s. google) verwendet.

Man sieht an diesem Beispiel zwei sehr wichtige Eigenschaften von Tensoren.
1) Man kann damit auch Tensorfelder konstruieren, denn die Spannungen im Festkörper können an unterschiedlichen Orten unterschiedlich ausfallen und auch unterschiedliche Richtungen haben.
2) Tensoren beschreiben physikalische Gesetze unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem

Sollte Dir der Spannungstensor nicht gefallen, google nach Polaristionstensor. Dort wird die Notwendigkeit von Tensoren vielleicht noch klarer.

29.07.2012, 10:07

system-agent

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Wahrscheinlich solltest du erstmal sagen, inwiefern du Tensoren "verstehen" willst.

Falls es dir physikalische Variante / Interpretation ist, hat dir Telefonmann1 schon Hinweise gegeben.

Falls du dir eine Vorstellung als mathematisches Objekt machen willst - lass das beim ersten Kontakt einfach sein. Tensoren ist ein anderer Name für die Vektoren in einem besonderen Vektorraum [nämlich dem Tensorprodukt]. Schau dir die Definition an, verbunden mit der universellen Eigenschaft, das ist das wichtigste dabei.
Für eine mathematische Veranschaulichung, was auch zu den Ausführungen von Telefonmann1 passt, schau dir Tensorfelder in der Differentialgeometrie an. Dort sind die Tensoren realisiert als multilineare Abbildungen.

29.07.2012, 10:36

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo zusammen,
Mich interissiert momentan nur die mathematische Intepretation, am besten wäre narürlich die genauste Definition.

mfG Mmm

29.07.2012, 11:25

system-agent

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Die Definition findest du zum Beispiel auf Wikipedia, dort wird auch die universelle Eigenschaft angegeben.

Schöne Beispiele sind [zumindest aus meiner Sicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

] wie schon erwähnt Tensorfelder in der Differentialgeometrie, Stichworte: Riemannsche Metrik, Differentialformen.

Wenn du mehr an Beispielen aus der Algebra interessiert bist, sollte dir jemand anderes dortige Anwendungen nennen.

29.07.2012, 11:51

Elvis

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Hier ist die Definition des Tensorprodukt auf deutsch : http://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt

Beispiel aus der Zahlentheorie : Brauergruppe siehe hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Brauergruppe

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29.07.2012, 19:50

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo, erst einmal Danke an eure Antworten, so ungefähr weiß ch jetzt was das Tensorprodukt ist. Ich mache mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} V= (\mathbb R)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W= (\mathbb C)^{2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} V \otimes W \end{eqnarray*}$ wie folgt konstruiert:
$\begin{eqnarray*} E=\{ (e_{i})_{i \in I }\}=\{(1,0,0)~ und~ (0,1,1)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F=\{(1,0,0)~ und~ (0,1,1)\}=E \end{eqnarray*}$ .
Dann ist die Basis von $\begin{eqnarray*} V \otimes W \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} E \times E= E^{2}=\{(n,n)| \forall n \in E\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} dim( V \otimes W)= dim ( (\mathbb R)^{2} \otimes (\mathbb C)^{2})= \infty \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

30.07.2012, 03:43

Bernhard1

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Ich texe das erst mal ein wenig:

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Hallo, erst einmal Danke an eure Antworten, so ungefähr weiß ich jetzt was das Tensorprodukt ist. Ich mache mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} V= \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W= \mathbb{C}^{2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} V \otimes W \end{eqnarray*}$ wie folgt konstruiert:
$\begin{eqnarray*} E:=\{(1,0,0) , (0,1,1)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F:=\{(1,0,0), (0,1,1)\}=E \end{eqnarray*}$ .
Dann ist die Basis von $\begin{eqnarray*} V \otimes W \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} E \times E= E^{2}={(n,n)| \forall n \in E} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \dim( V \otimes W)= \dim ( \mathbb{R}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2})= \infty \end{eqnarray*}$

Dann zur Frage:

Zitat:

Stimmt das?

Da sind noch einige grundlegende Fehler drin, weil das Tensorprodukt erst mal nur über dem gleichen Skalarkörper definiert ist. Einen reellen und einen komplexen Vektorraum kann man also nicht ohne Zusatzannahmen miteinander multiplizieren. Das letzte Gleichheitszeichen mit der unendlichen Dimension gefällt mir auch nicht. Das kartesische Produkt gibt vor, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \dim( V \otimes W) = \dim(V) \cdot \dim(W) \end{eqnarray*}$
Gruß

30.07.2012, 08:36

Monoid

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Tansor,Tensorprodukt
Hallo,
Dann nehmen wir statt $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{2} \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} (mathbb C)^{2} \end{eqnarray*}$ . Aber dim $\begin{eqnarray*} ( \mathbb C)^{2}) = \infty \end{eqnarray*}$ oder? Tanzen

Tanzen

mfG Mmm

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

30.07.2012, 09:17

ollie3

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RE: Tansor,Tensorprodukt
hallo Mmm,
habe das hier mitverfolgt. Also erstmal denke daran, wenn du latex benutzt, das du
vorher " latex" und hinterher " /latex" (beides in eckigen klammern) schreiben musst, sonst
erkennt das programm das nicht.
Und das mit dim von C^2 gleich unendlich stimmt auch nicht, es kommt ja immer auf den
grundkörper an, von dem man ausgeht, und das ist hier R, dann wäre in deinem fall die
dimension von V =2, von W=4, dann wäre die dimension von dem tensorprodukt also 8,
falls man das überhaupt so einfach machen kann, die einwände von telefonmann sind also richtig.
gruss ollie3

30.07.2012, 09:42

Monoid

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RE: Tansor,Tensorprodukt
Vielen Dank an euch alle!

Das Tensorprodukt ist nun weitest gehent verstanden.
Wei sieht es mit Tensoren aus?

mfG M. Tanzen

Tanzen

30.07.2012, 11:02

system-agent

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RE: Tansor,Tensorprodukt

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Wei sieht es mit Tensoren aus?

Das sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ .

30.07.2012, 11:02

Ehos

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Definition:
Ein Tensor m-ter Stufe ist eine Abbildung, die m Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,..., \vec a_m \end{eqnarray*}$ eines n-dimensionalen Raumes eine Zahl zuordnet und zwar derart, dass diese Abbildung in jedem der m Argumente linear ist.

Beispiel:
Das Volumen eines 3-dimensionalen Paralleleogrammes, das durch die 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, ist ein Tensor 3.Stufe. Dieses Volumen wird durch folgende Dreifach-Summe (=Tensor) berechnet:

$\begin{eqnarray*} V=\sum \limits_{i=1}^3 \sum \limits_{j=1}^3 \sum \limits_{k=1}^3 \epsilon_{ijk} \,\,\,a_i b_j c_k \end{eqnarray*}$

Dabei haben die 27 Zahlen $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$ folgende Werte
$\begin{eqnarray*} \epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon_{213}=\epsilon_{321}=\epsilon_{132}=-1 \end{eqnarray*}$
Alle übrigen 21 Werte $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$ , wo mindestens zwei Indizes übereinstimmen, verschwinden, z.B. $\begin{eqnarray*} \epsilon_{311}=0 \end{eqnarray*}$ usw.

Bemerkung 1:
Die Linearität ist anschaulich klar: Wenn man eine Seite des Parallelogrammes um einen Faktor verlängert, vergrößert sich das Volumen um den gleichen Faktor.

Bemerkung 2:
Oft bezeichnet man nicht die Abbildung selbst als Tensor, sondern die Zahlen $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray*}$ , welche diese Abbildung vermitteln.

Bemerkung 3:
Wenn man eine Koordinatentransformation durchführt, ändern sich die Koordinaten der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \rightarrow \vec a', \vec b', \vec c' \end{eqnarray*}$ . Damit obige Summe wieder das gleiche Volumen liefert, müssen sich auch die Zahlen $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk} \rightarrow \epsilon'_{ijk} \end{eqnarray*}$ auf eine bestimmte Art transformieren. Besonders in der Physik werden Tensoren auch über diese Art der Transformation definiert, was für den Anfänger etwas unmotiviert erscheint.

30.07.2012, 16:06

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Vielen Dank für eure Antworten!
Dann hätte ich noch eine Frage:
Was ist der Zusammenhang zwischen System-Agents Def. und Ehos?

mfG Mmm

30.07.2012, 16:29

system-agent

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Man kann zeigen, dass die multilinearen Abbildungen eine "Realisierung" des Tensorprodukts sind. Das ist hier einigermassen erklärt.

Aus der universellen Eigenschaft folgt dass das Tensorprodukt bis auf Isomorphie eindeutig ist, also kann man Tensoren mit solchen Multilinearen Abbildungen identifizieren.

30.07.2012, 18:36

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Das hilft mir schon mal ungemein weiter, aber ich hätte noch eien Frage: Wenn $\begin{eqnarray*} t \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V \otimes W \end{eqnarray*}$ ist, wann hat er welche Stufe? Und wann ist er kovariant, wann kontravariant?

mfG Mmm

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

31.07.2012, 11:37

Bernhard1

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Hallo Mmm,

Dein t ist ein (2,0)-Tensor, also 2 fach kontravariant, weil die Definitionsmenge zwei Vektorräume und keinen Dualraum enthält.

Zur weiteren Erklärung s. http://de.wikipedia.org/wiki/Tensor#.28r.2Cs.29-Tensorraum

31.07.2012, 15:47

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Ja dann versuche ich es mal: Wenn mein Tensor ein (0,2) -Tensor ist, muss er ja aus $\begin{eqnarray*} V \otimes V^** \end{eqnarray*}$ sein. Da mein V.R. $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{**} = Hom( (\mathbb C^{**},K)) \end{eqnarray*}$ . Wie rechnet man das noch genauer aus? Ich kenne nur die Def. .
Dann hätte ich noch eine Frage: wieso funktioniert Latex bei mir nicht? traurig

traurig

mfG Mmm

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

31.07.2012, 16:45

ollie3

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RE: Tensor,Tensorprodukt
hallo Mmm,
dein latex funktioniert deswegen nicht, weil du am schluss immer "/latex" und
nicht "\latex" schreiben musst. (wollte dir das schon heute morgen sagen)
gruss ollie3

31.07.2012, 18:30

Monoid

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RE: Tensor,Tensorprodukt
Hallo, vielen dank jetzt kann ich richtig schreiben! $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$

Naja, wieder zum Beispiel:
Wir haben ja folgendes Problem: wieso sind die Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ (0,2) -Tensoren? Ja wenn das so ist, müssen die Tensoren gennerel aus V^** $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ V^** sein. Bei uns ist V der C hoch 2 => der Dualraum von ihm ist Hom((C^2,K)), wie berechne ich das noch genauer?

mfG M.

Edit: LaTeX verbessert. Der Befehl lautet \otimes, und wenn du Zahlbereiche schreibst, muss ein Leerzeichen gesetzt werden; \mathbb R. Sieh dir das am besten mal im Formeleditor an oder schlag die Sammlung bei Wikipedia auf. LG Iorek

31.07.2012, 18:43

ollie3

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RE: Tensor,Tensorprodukt
hi Mmm,
oje, das hat immer noch nicht richtig geklappt mit dem latex. Du musst unbedingt
bevor du deine antworten erstellst auf vorschau klicken, ob alles richtig war.
Ausserdem braucht man natürlich nicht bei jedem einzelnen zeichen aufs
neue latex und endlatex zu schreiben sondern kann zum beispiel eine
gleichung ganz durch schreiben. Probier das am besten alles einmal aus.
gruss ollie3

31.07.2012, 19:05

Monoid

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RE: Tensor,Tensorprodukt
$\begin{eqnarray*} \sqrt(\sqrt(\sqrt(\sqrt(\sqrt(V\otimes W)))))^{V\oplus W} \end{eqnarray*}$
wenn ich auf Vorschau gehe, ist dort stets ein Weißes Feld mit der Inschrift"!Undefined control sequence."

mfG Mmm

31.07.2012, 19:17

Bernhard1

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Die Meldung "Undefined control sequence" bekommt man sehr schnell, wenn man schließende, geschweifte Klammern vergisst. LaTeX setzen ist so ähnlich wie Programmieren. Man darf da nicht zu sehr von der korrekten Syntax abweichen.

31.07.2012, 19:30

Bernhard1

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Bei uns ist V der C hoch 2 => der Dualraum von ihm ist Hom((C^2,K)), wie berechne ich das noch genauer?

Der Dualraum (Klick den Link) ist ein ganz normaler Vektorraum mit der gleichen Dimension, wie die des zugrundeliegenden Vektorraumes (hier also 4, entsprechend dem C^2). Man kann im Dualraum in einfacher Weise eine Basis definieren: http://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum#Basis_des_Dualraums und bekommt mit Hilfe dieser Basis dann die zugehörigen Koordinatendarstellungen eines Tensors, der von diesem Dualraum in den Skalarkörper abbildet. Bei konkreten Rechnungen muss man sich immer wieder daran erinnern, dass es nur um lineare Abbildungen geht. Das liefert dann die gesuchten Rechenregeln.

Du solltest das alternativ eventuell auch mal in einem ausführlicheren Buch über lineare Algebra nachlesen.

31.07.2012, 19:33

Iorek

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RE: Tensor,Tensorprodukt

Zitat:

Original von Mathemathemathe
wenn ich auf Vorschau gehe, ist dort stets ein Weißes Feld mit der Inschrift"!Undefined control sequence."

Bitte schlage dazu die korrekten Befehle nach, http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX bietet eigentlich alles an. Du hattest erneut \otime statt dem korrekten \otimes verwendet. Außerdem hattest du das Zeichen \oplus nicht vom darauffolgenden W getrennt, was auch zu diesem Fehler führt.

31.07.2012, 19:57

Monoid

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RE: Tensor,Tensorprodukt
Halo,
Nur finde ich auf Wiki nicht, wie man $\begin{eqnarray*} Hom( \mathbb C^{2},K) \end{eqnarray*}$ oder gennerel Hom(V,K) ausrechnet, ich weiß nur dass es die Menge aller Abb. V -> K sind.

mfG Mmm

Edit: Zum wiederholten Male: setze ein Leerzeichen zwischen \mathbb und R oder C oder was auch immer, das führt sonst zu einem Fehler! Verwende die Vorschaufunktion, um die Lesbarkeit deines Beitrags zu überprüfen. LaTeX korrigiert. LG Iorek

01.08.2012, 11:36

system-agent

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RE: Tensor,Tensorprodukt

Zitat:

Original von Mathemathemathe
gennerel Hom(V,K) ausrechnet, ich weiß nur dass es die Menge aller Abb. V -> K sind.

Nein, es ist die Menge aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ , das ist ein grosser Unterschied Lehrer

Lehrer

.

Die Frage ist was du denn da grossartig ausrechnen willst?
Du weisst aus der linearen Algebra dass du [nach Basiswahl] jede lineare Abbildung als eine Matrix schreiben kannst. In dem Sinne ist $\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,K) \end{eqnarray*}$ die Menge aller "Zeilenvektoren" mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Das ist aber nur eine andere Art und Weise diesen Raum zu beschreiben, da hast du nichts weiter "gerechnet".
Oder wie würdest du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2012} \end{eqnarray*}$ "ausrechnen" ?

Wie du eine Basis von $\begin{eqnarray*} \text{Hom}(V,K) \end{eqnarray*}$ finden kannst, dazu hat dir Telefonmann1 schon einen Link gezeigt.

01.08.2012, 13:06

Monoid

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RE: Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Oh entschuldigung....
Habe mich verschrieben, das wusste ich, aber trotzdem Danke für die Korriegierung. So das mit Tensoren wäre dnn also im Grunde geklärt, wenn sich beim vertiefen noch mal Fragen stellen melde ich mich nochmal!

mfG Mmm

02.08.2012, 20:54

Rmn

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Für die Verwirung sorgt meistens das Wort "Tensorprodukt" selbst. Damit ist kein Produkt von Tensoren gemeint, sondern die Tatsache, dass man damit Tensoren induzieren kann. Mit dem Wort "Skalarprodukt" meint man auch normalerweise kein Produkt zweier Skalare.

07.08.2012, 20:39

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Habe dann noch ein paar Fragen: Wie stellt man einen Tensor dar? Wieso ist ein Tensor 1. Stufe ein vektor? Wieso ist ein Tensor 2. Stufe eine Matrix?

mfG M.

08.08.2012, 07:51

Rmn

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RE: Tensor,Tensorprodukt

Zitat:

Original von MathemathematheWie stellt man einen Tensor dar?

Das hängt vom Rang ab. (Man kann es allgemein aufschreiben, aber es ist sehr schwer leserlich/verständlich.)

Zitat:

Wieso ist ein Tensor 1. Stufe ein vektor?

Ein Tensor der Stufe (1,0) ist eine Linearform und der Stufe (0,1) ein Vektor. Tensoren sind Elemente der Menge des Tensorprodukts der VR und DR. Für den Fall (0,1) sind es einfach nur Elemente des VR selbst und somit Vektoren. (In diesem einfachen Fall muss man gar kein Tensorprodukt bilden.)

Zitat:

Wieso ist ein Tensor 2. Stufe eine Matrix? mfG M.

Es ist eigentlich keine. Tensoren der Stufe (1,1), was 2. Stufe (aus 1+1=2) enspricht, sind lineare Abbildungen und können somit mittels Matrizen dargestellt werden.

08.08.2012, 09:24

Monoid

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RE: Tensor,Tensorprodukt

Zitat:

Es ist eigentlich keine. Tensoren der Stufe (1,1), was 2. Stufe (aus 1+1=2) enspricht, sind lineare Abbildungen und können somit mittels Matrizen dargestellt werden.

Hallo, ok,
Leider wird es nur langsam klarer, ich finde aber es ist gennerrel schon in der Schule gut Tensoren einigermaßen zu verstehen oder?

Wieso sind Tensoren 2. Stufe denn lineare Abbildungen? Dann bin ich noch auf die Qoutientenregel gestoßen. Könntest du ein einfaches anwendungs Beispiel geben, an dem ich mich dann versuche?

Gruß Mmm

08.08.2012, 10:43

Ehos

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Beispiel für Tensor 1.Stufe:
Gegeben seien ein fester Kraft-Vektor $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ und ein Wegvektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ . Die mechanische Arbeit $\begin{eqnarray*} W=F_1x_2+F_2x_2+F_3x_3 \end{eqnarray*}$ kann man als Tensorprodukt 1.Stufe interpretieren, weil dabei die Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ jedem beliebigen Weg $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ einen Skalar zuordnet - nämlich die mechanische Arbeit W. Der Weg-Vektor ist gewissermaßen die Variable für den festen Kraftvektor. In diesem Sinne ist ein Tensorprodukt 1.Stufe nichts anderes als das bekannte Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} W=\vec F\cdot \vec x \end{eqnarray*}$ , wobei der Kraft-Vektor als Tensor 1.Stufe erscheint und die Wege als dessen Argumente.

Beispiel für Tensor 2.Stufe:
Gegeben sei die 2x2-Matrix $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ij}=\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & +1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Fläche eines ebenen Parallelogramms, das durch zwei beliebigen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a=(a_{1}|a_{2}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b=(b_{1}|b_{2}) \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, kann mit mit dieser Matrix wie folgt berechnen

$\begin{eqnarray*} A=\underbrace{\epsilon_{11}}_{=0}a_1b_1+\underbrace{\epsilon_{12}}_{=+1}a_1b_2+\underbrace{\epsilon_{21}}_{-1}a_2b_1+\underbrace{\epsilon_{22}}_{=0}a_2b_2=a_1b_2-a_2b_1 \end{eqnarray*}$

In diesem Sinne kann man eine Matrix als Tensor 2.Stufe (hier $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ij} \end{eqnarray*}$ ) auffassen, der jedem Vektorpaar einen Skalar zuordnet (hier den Flächeninhalt). Dieses Tensorprodukt 2.Stufe lässt sich in Vektorschreibweise wie folgt schreiben

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tensor n.Stufe:
Hier hätte man gewissermaßen eine n-dimensionale Matrix $\begin{eqnarray*} \epsilon_{hijk...} \end{eqnarray*}$ mit n Indizes. Als Argumente hätte man n Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c,... \end{eqnarray*}$ .

08.08.2012, 11:36

Monoid

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Tensor,Tensorprodukt
Hallo,
Ja den Epsilon-Tensor. Dann möchte ich mal mittels der Qoutienten-Regel nachprüfen, ob er wirklich ein Tensor ist: $\begin{eqnarray*} \epsilon_{i,j,k}=\text{1 für i ungleich j ungleich k oder -1 für k ungleich j ungleich i oder 0 sonst} \end{eqnarray*}$

Qoutientenregel: X ist Tensor, wenn die Überschiebung von X mit einem beliebigen Tensor ein Tensor ist.

Bei uns: $\begin{eqnarray*} \epsilon_{i,j,k} T_{i_1,...,i_n}^{j_1,...,j_n} \end{eqnarray*}$ =... Das ist doch das tensorielle Produkt, bei dem ich die Indizes addieren muss? Aber welche Indizes hat der Epsilon-Tensor?

Gruß Mmm

Edit (mY+): LaTex berichtigt; Texte innerhalb sind mit \text{ ... } zu schreiben. Und: \epsilon

09.08.2012, 09:55

Ehos

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Die Definition des Tensors mit dem Quotientenkriterium ist zwar sachlich richtig aber unnötig kompliziert. (Das ist meine persönliche Meinung, die keiner übernehmen muss.) Ich finde die Tensordefinition, die ich in meinem 1.Beitag nannte, einfacher und natürlicher (Quelle: Lexikon der Mathematik).

-----------------
Den Epsilon-Tensor (kluge Leute sagen Levi-Civita-Tensor) kann man in jeder Dimension definieren. Die Anzahl der Indizes entspricht der Dimension des Raumes.

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{i_1i_2i_3...i_n}=\left \lbrace \begin{matrix} +1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \,\,\,\,\,\, \begin{matrix} \text{gerade Permutation von 123...n, z.B. }\epsilon_{i_2i_3i_1...i_n}=+1 \\ \text{ungerade Permutation von 123...n, z.B. }\epsilon_{i_2i_1i_3...i_n}=-1 \\ \text{sonst} \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Hat man n Vektoren $\begin{eqnarray*} a_{i_1}, b_{i_2},..., c_{i_n} \end{eqnarray*}$ kann daraus mit $\begin{eqnarray*} \epsilon_{i_1i_2i_3...i_n} \end{eqnarray*}$ folgende n-fache Summe konstruieren, die einen Skalar liefert

$\begin{eqnarray*} Skalar=\underbrace{\sum\limits_{i_1=1}^n ...\sum\limits_{i_n=1}^n}_{\text{n Summen}} \epsilon_{i_1i_2i_3...i_n} a_{i_1}b_{i_2}...c_{i_n} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist diese Summe linear in jedem der n Vektoren und invariant gegen Koordinatentransformationen. Damit erfüllt $\begin{eqnarray*} \epsilon_{i_1i_2i_3...i_n} \end{eqnarray*}$ sofort diejenige Definition eines Tensors, die ich in meinem 1.Beitag nannte. Hier wird der Vorteil der genannten Tensor-Definition deutlich. Das Quotientenkriterium brauchen wir also gar nicht.

Der obige Skalar ist übrigens das Volumen des n-dimensionalen Parallelogrammes, das durch die n Vektoren aufgespannt wird. In Fachkreisen nennt man diesen Skalar auch Determinante.

09.08.2012, 13:59

Monoid

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Tensor,Tensorprdukt
Hallo,
Hätte dann warscheinlich zumindest erst erstmal die letzte Frage: Kennst du irgendeine Seite mit aufgaben zu Tensoren?

Gruß
Mmm

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