Lösen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung , Wronski-Determinante

29.07.2012, 11:46	Schoggo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung , Wronski-Determinante Meine Frage: Ich versuche mich gerade an folgendem Beispiel: $\begin{eqnarray} y^{''}+4y^{'}+4y= \frac{e^{-2x} }{x^{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich stelle zuerst eine charakteristische Gleichung auf: $\begin{eqnarray} \lambda ^{2} +4\lambda +4=0 \end{eqnarray}$ Dann forme ich mit der pq-Formel nach lamda um: $\begin{eqnarray} \lambda =-2 \end{eqnarray}$ Weil beide lamda ja -2 sind und reell, weiß ich dass : $\begin{eqnarray} Ay1+By2=(A+Bx)e^{\lambda x}=(A+Bx)e^{-2x} \end{eqnarray}$ Nun möchte ich die Gleichung mit Variation der Konstanten lösen! Dafür muss ich die Wronski-Determinante W bilden damit ich in folgende Gleichung einsetzen kann: $\begin{eqnarray} y1(x)=y2\int \! \frac{g(x)y1}{W} \, dx -y1\int \! \frac{g(x)y2}{W} \, dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} W=\begin{vmatrix} y_2 & y_1 \\ y_2' & y_1' \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und hier ist schon mal mein erstes Problem: wie lese ich y1 und y2 ab??? Und als zweite Frage: Könnte man dieses Beispiel auch anders lösen? Hat jemand von euch schon mal was vom D-Operator gehört bzw. weiß ob und wie der hier anzuwenden wäre? Vielen Dank schon mal!
01.08.2012, 23:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung , Wronski-Determinante Hallo, ich weiß nicht, ob dir die Herleitung des Ansatzes ausreicht, aber ich würde es einfach mal mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} y_i(x)=c\ln(x)\mathrm e^{-2x} \end{eqnarray}$ probieren. Ich habe das zwar nicht nachgerechnet, aber wenn es funktioniert, tippe ich auf $\begin{eqnarray} c=-1 \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer

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