Grenzwert mit Fallunterscheidung

29.07.2012, 12:02

mathe-noob5

Grenzwert mit Fallunterscheidung

Hi,

Aufgabe
a) Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y} \end{eqnarray*}$ . Beachten die erfoderliche Fallunterscheidung für x.

b) Berechne Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0}x^{x} \end{eqnarray*}$ , indem sie eine spezielle Nullfolge wählen. Warum existiert nur der rechtsseitige Grenzwert?

Kann mir jemand erklären wie das funktioniert bzw. wie man vorgehen sollte.

29.07.2012, 12:17

mathe-noob5

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b) würde ich normalerweise so lösen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0}x^{x}=e^{\lim_{x \to +0}x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0}x\cdot ln(x)=\lim_{x \to +0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

l'Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} -x=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die e-Funktion

$\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$

Also Grenzwert 1

Aber was ist gemeint mit

Zitat:

indem sie eine spezielle Nullfolge wählen. Warum existiert nur der rechtsseitige Grenzwert?

30.07.2012, 16:17

mathe-noob5

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Hat niemand einen Tipp?

30.07.2012, 16:21

Che Netzer

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Hallo,

hast du denn auch Ideen zu a)?

Bei b) hast du eigentlich den besseren Lösungsweg...
Ich verstehe das so, dass man davon ausgehen soll, dass der Grenzwert existiert, und ihn dann mithilfe einer speziellen Folge bestimmen soll. Das wäre dann $\begin{eqnarray*} x_n=\tfrac1n \end{eqnarray*}$ , aber das lässt ja keine Aussage über die tatsächliche Existenz des Grenzwertes zu...

mfg,
Ché Netzer

30.07.2012, 16:51

mathe-noob5

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hi,

ok danke für die antwort.

also bei a) würde ich es ähnlich machen, aber welche fälle muss ich für x unterscheiden?? da steht dann ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y}=e^{\lim_{y \to 0}y\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$

bei x=1 komme ich auf 0 * 0
bei x=0 bzw. x>1 komme ich auf 0 * unendlich

Sind diese beiden Fallunterscheidungen gemeint? Im 2.Fall würde ich weiter kommen mit l'Hopital, aber was mache ich bei 0*0 ??

30.07.2012, 16:56

Che Netzer

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Du musst die Fälle $\begin{eqnarray*} x\leq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Auf "0*unendlich" kommst du da nicht, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konstant ist.

(Den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ könntest du auch noch untersuchen, aber anders)

30.07.2012, 17:19

mathe-noob5

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Ähm sorry versteht es aber immer noch nicht.

wenn ich x <=0 untersuche, soweit ich ist ja der ln(x) mit x<=0 -unendlich
und bei x>0 macht es ja schon einen unterschied, ob ich x=1 ln(1)=0 oder x=2 verwendet oder?

Kannst du das vielleicht an diesem beispiel machen, vielleicht wird es mir dann klarer

30.07.2012, 17:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathe-noob5
wenn ich x <=0 untersuche, soweit ich ist ja der ln(x) mit x<=0 -unendlich

Nein, nicht definiert.

Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to0}y\ln(x) \end{eqnarray*}$ doch aber immer gleich [attach]24103[/attach]

30.07.2012, 18:07

mathe-noob5

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ok also a) könnte ich mir so vorstellen

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y} \end{eqnarray*}$

1.Fall x != 0
Da irgendetwas hoch 0 immer 1 ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y} = 1 \end{eqnarray*}$

2.Fall x=0
Da 0 hoch 0 nicht definiert ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y}=e^{\lim_{y \to 0}y\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$
Nebenrechnung
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}y\cdot ln(x)=\lim_{y \to 0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{y}} \end{eqnarray*}$
l'Hospital
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{y}}=\lim_{y \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{y^2}}=\lim_{y \to 0}-\frac{y^2}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Hauptrechnung
$\begin{eqnarray*} e^{0}=1 \end{eqnarray*}$

30.07.2012, 18:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathe-noob5
1.Fall x != 0
Da irgendetwas hoch 0 immer 1 ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y} = 1 \end{eqnarray*}$

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to0}(-1)^y \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von unten gegen Null geht?

Zitat:

2.Fall x=0
Da 0 hoch 0 nicht definiert ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}x^{y}=e^{\lim_{y \to 0}y\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$
Nebenrechnung
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}y\cdot ln(x)=\lim_{y \to 0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{y}} \end{eqnarray*}$
l'Hospital
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{y}}=\lim_{y \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{y^2}}=\lim_{y \to 0}-\frac{y^2}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Hauptrechnung
$\begin{eqnarray*} e^{0}=1 \end{eqnarray*}$

Naja, $\begin{eqnarray*} 0^y=0 \end{eqnarray*}$ dürfte das ganze etwas abkürzen, oder? Augenzwinkern

Ganz abgesehen, davon, dass diese Rechnung sogar falsch ist.
Was ist denn $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Und wieso kannst du dann l'Hospital anwenden? Und wieso leitest du bei der Anwendung auch nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab?
Du hast so schon Teil b) gemacht...

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