Wieso ist dies eine Wahrscheinlichkeit?

29.07.2012, 14:55

HugoW.

Wieso ist dies eine Wahrscheinlichkeit?

Hi,

ich habe vielleicht ein etwas merkwürdiges Verständnisproblem und ich hoffe ihr könnt mir so aus dem Zusammenhang gerissen trotzdem dabei helfen es zu lösen.

Betrachtet bitte einmal folgende Wahrscheinlichkeit:
$\begin{eqnarray*} \gamma_j(x_n) = \frac{p(j) \cdot N (x_n | \mu_j, \Sigma_j )}{\sum_{k=1}^N p(k) \cdot N (x_n | \mu_k, \Sigma_k )} \end{eqnarray*}$

Was genau das bedeutet, ist glaube ich unwichtig. Für die Interessierten: Es kommt aus dem Expectation-Maximization-Algorithmus.

Meine Frage:
Wieso ist $\begin{eqnarray*} \gamma_j(x_n) \end{eqnarray*}$ eine "richtige" Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1?
Wir haben doch zwei Normalverteilungen in dem Bruch. Was sagt denn eine Zahl aus, die man erhält indem man in die NV eine konkrete Zahl für x einsetzt? Diese Normalfunktion ist doch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die also über Integrale interpretiert werden muss. Die Wahrscheinlichkeit für eine fixe Zahl x_n müsste doch immer 0 sein.

Es scheint mir als würde $\begin{eqnarray*} N (x_n | \mu_k, \Sigma_k ) \end{eqnarray*}$ der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(x_n | \mu_k, \Sigma_k) \end{eqnarray*}$ entsprechen, also doch der konkreten Wahrscheinlichkeit, dass x_n auftritt, gegeben dieser bestimmten Verteilung. In meinen Augen müsste das aber immer 0 sein...

Ich weiß nicht...ich bin irgendwie massiv verwirrt, was diese Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen angeht. Vielleicht genügen ja ein paar aufklärende Worte eurerseits, sofern ihr denn versteht, wo man Problem liegt smile

Danke!
Hugo

29.07.2012, 15:03

Math1986

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RE: Wieso ist dies eine Wahrscheinlichkeit?

Zitat:

Original von HugoW.

Es scheint mir als würde $\begin{eqnarray*} N (x_n | \mu_k, \Sigma_k ) \end{eqnarray*}$ der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(x_n | \mu_k, \Sigma_k) \end{eqnarray*}$ entsprechen, also doch der konkreten Wahrscheinlichkeit, dass x_n auftritt, gegeben dieser bestimmten Verteilung. In meinen Augen müsste das aber immer 0 sein...

Warum muss das Null sein? Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann beliebige Werte annehmen.

29.07.2012, 15:52

HugoW.

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naja, bei kontinuierlichen Variablen müsste eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass genau x_n auftritt, immer 0 sein. Denn wenn man das über ein Integral interpretiert, wäre das ja das Integral von x_n bis x_n, was eben immer null ist.

Und ich bin mir ziemlich sicher, dass wir von kontinuierlichen Variablen sprechen.

Aber was sagt dann eben $\begin{eqnarray*} N(x_n | \mu_n, \Sigma_n) \end{eqnarray*}$ aus?

29.07.2012, 22:40

Math1986

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Zitat:

Original von HugoW.
naja, bei kontinuierlichen Variablen müsste eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass genau x_n auftritt, immer 0 sein. Denn wenn man das über ein Integral interpretiert, wäre das ja das Integral von x_n bis x_n, was eben immer null ist.

Wir reden hier aber von der Dichtefunktion, wenn ich das da richtig verstehe.

30.07.2012, 08:38

HugoW.

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ja, sehe ich auch so. Und wo ist jetzt der Widerspruch? Erstaunt1

30.07.2012, 08:47

Math1986

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Zitat:

Original von HugoW.
ja, sehe ich auch so. Und wo ist jetzt der Widerspruch? Erstaunt1

Schau dir mal die Dichte der Normalverteilung an. Wenn du da was einsetzt dann hast du einen nicht-negativen Wert. Bitte lies dir nochmal ganz genau durch, wie denn eine solche definiert ist.

Du setzt ja direkt in die Dichtefunktion ein, da wird gar nichts integriert, oder steht da etwa was von integrieren?

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