Innere Komposition

29.07.2012, 20:32	lex__	Auf diesen Beitrag antworten »
Innere Komposition Hallo, ich habe mir vorgenommen anhand eines Buches etwas Analysis I anzueignen und bin bei einem Satz auf Schwierigkeiten gestoßen. Sei M eine Menge $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen von M nach M. Als innere Komposition auf $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ betrachten wir die Abbildungsverknüpfung: Für Abbildungen $\begin{eqnarray} f,g: M \rightarrow M \end{eqnarray}$ soll eine Funktion durch die Vorschrift $\begin{eqnarray} (f \bullet g)(x):=f(g(x)) \end{eqnarray}$ erklärt sein. Dass ich den Satz nicht verstehe liegt wahrscheinlich daran dass ich da Konzept der Abbildung auch nicht 100% verstanden habe. Hier mein Gedankengang: Wenn ich mir nun eine beliebige Menge M aussuche: $\begin{eqnarray} M:={3 ,4,7} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} MxM ={(3,3); (3,4) ; (3,7) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,7) ; (7,3) ; (7,4); (7,7)} \end{eqnarray}$ Eine Relation wäre nun z.b. $\begin{eqnarray} R= {(3,3) ; (3,4) ; (4,7) ; (7,7)} \end{eqnarray}$ Damit das aber ein Abbildungsrelation wird, muss ich dafür sorgen dass für jedes $\begin{eqnarray} x\subset M \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} y\subset M \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} x,y\subset R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Abbildungsrelation={(3,4) ; (4,7) ; (7,7)} \end{eqnarray}$ Die Abbildungsrelation die ich aufgestellt habe ist eine aus der Menge $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ . Das heißt eine weiter wäre z.B $\begin{eqnarray} Abbildungsrelation={(3,3) ; (4,7) ; (7,7)} \end{eqnarray}$ Und wenn man nun alle möglichen Kombinationen aufstellt so hat man $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ , ist das korrekt? Eine innere Komposition auf $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ würde also bedeuten ich habe eine Verknüpfung zwischen zwei geordneten Paaren, z.B $\begin{eqnarray} (3,3)\bullet (4,7) \end{eqnarray}$ und erhalte ein geordnetes paar das in $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ liegt, also z.b $\begin{eqnarray} (3,4) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} (3,3)\bullet (4,7)=(3,4) \end{eqnarray}$ . Ist das so korreckt? Weil als konkretes Beispiel kann man ja $\begin{eqnarray} f\bullet g \end{eqnarray}$ nehmen mit $\begin{eqnarray} f(x)= 3-x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = x^3 \end{eqnarray}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray} f\bullet g=(3-x)^3 \end{eqnarray}$ . Dann entspricht f sozusagen einem geordneten paar aus $\begin{eqnarray} Abb(M,M ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x,f(x)) \end{eqnarray}$ , oder in dem Beispiel davor $\begin{eqnarray} (3,3) \end{eqnarray}$ , g einem geordneten paar $\begin{eqnarray} (x,g(x)) \end{eqnarray}$ oder in dem Beispiel davor $\begin{eqnarray} (4,7) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} Abb(M,M) \end{eqnarray}$ und das was rauskam $\begin{eqnarray} g\bullet f=(3-x)^3 \end{eqnarray}$ entspricht in dem Beispiel davor $\begin{eqnarray} (3,4) \end{eqnarray}$ . Ist das so korrekt?
29.07.2012, 23:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Innere Komposition Hallo, geht es dir nur darum, Verknüpfungen wie $\begin{eqnarray} f\circ g\colon x\mapsto f(g(x)) \end{eqnarray}$ zu verstehen? Wenn ja, dann würde ich da nicht anhand von Relationen und $\begin{eqnarray} M\times M \end{eqnarray}$ erläutern. Die Idee dahinter ist folgende: Wir haben eine Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon M\to M \end{eqnarray}$ und eine zweite Abbildung $\begin{eqnarray} g\colon M\to M \end{eqnarray}$ . Beide kann man also auf ein Element von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ wirken lassen und erhält wieder ein Element von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Jetzt ist die Situation folgende: Wir haben ein Element $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ und wollen darauf die Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ anwenden. Damit erhalten wir $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ , wieder ein Element von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Das können wir jetzt auch umbenennen, wenn wir wollen: Sei also $\begin{eqnarray} y=g(x) \end{eqnarray}$ . Wir haben also wieder ein Element $\begin{eqnarray} y\in M \end{eqnarray}$ . Dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ durch Anwenden von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ entstanden ist, ist uns dabei vollkommen egal. Dadurch wird das Element ja nicht für andere Dinge "gesperrt". Warum sollten wir also nicht die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ anwenden können? Damit haben wir $\begin{eqnarray} f(y) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ . Im Endeffekt haben wir uns also ein Element von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ genommen und darauf hintereinander zwei Abbildungen wirken lassen. Als starke Veranschaulichung sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Menge der weiß gestrichenen Wände. Wenn jetzt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Operation "ein Bild aufhängen" ist, bleibt die Wand weiß und bleibt in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Wir können also getrost noch die Operation $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , nämlich "ein Wandregal anbringen" durchführen. Mathematisch könnte $\begin{eqnarray} f(x)=2x \end{eqnarray}$ sein und $\begin{eqnarray} g(x)=x+1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} f(g(x))=2g(x)=2(x+1) \end{eqnarray}$ . Das erklärt hoffentlich $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ . Außerdem merken wir, dass $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ wieder ein Element von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist und dass wir $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erst auf $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ und dann auf $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ abbilden. Wir können also auch sagen, dass wir $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ direkt auf das Objekt $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ abbilden. Nach obigem Beispiel bilden wir also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 2(x+1) \end{eqnarray}$ ab. Das ist wieder eine Abbildung, der wir einen Namen geben können. Und die nennen wir $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ ("f nach g"). Dies ist also die Abbildung, die sich ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nimmt und es auf $\begin{eqnarray} f(g(x)) \end{eqnarray}$ abbildet. Damit wäre also am Beispiel $\begin{eqnarray} (f(g(x))=(f\circ g)(x)=2(x+1) \end{eqnarray}$ . So, ich hoffe, das beantwortet deine Frage. Wenn du noch allgemeine Probleme mit Abbildungen an sich hast, frag lieber in der Schulmathematik nach; ich traue mir eher nicht zu, solche Themen zu erklären (ich will nicht mit irgendwelchen schlechten Formulierungen verantworten, dass du mit dem ja durchaus wichtigen Begriff der Ableitung bzw. Funktion nicht zurechtkommst). Ansonsten kannst du natürlich nochmal nachfragen. Die geschweiften bzw. Mengenklammern kriegst du in $\begin{eqnarray} \text{\LaTeX} \end{eqnarray}$ übrigens per \{ und \}. mfg, Ché Netzer

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »