Optimierung - Duales Problem

29.07.2012, 21:32	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung - Duales Problem Hi Leute. Ich habe folgendes primales Problem: $\begin{eqnarray} Min (x_1 + x_2 - 2x_3) \end{eqnarray}$ mit den Nebenbedingungen: $\begin{eqnarray} x_1 + 2x_2 - x3 \ge 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_1 + x_2 + 2x_3 \le -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \ge 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 \le 0 \end{eqnarray}$ Mein Übungsleiter gab uns für dieses Problem das duale Problem. Dieses lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} Max(y_1 + 2y_2 - y_3) \end{eqnarray}$ mit den Nebendingungen: $\begin{eqnarray} x_1 + 2y_2 - y_3 \le 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2y_1 - y_2 + y_3 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -y_1 + y_2 + 2y_3 \ge -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_1 \ge 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_3 \le 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Meine Frage lautet nun: woher weiß ich in den Nebenbedingungen, ob ein kleiner gleich, größer gleich oder ein "=" existieren muss? Als Hilfe soll uns folgender Link helfen, auf welchem die Regeln dargestellt sind: http://www.tu-cottbus.de/fakultaet1/fileadmin/uploads/ingenieurmathematik/Exercises/OptimierungI/DualesProblem.pdf Leider weiß ich auch anhand dieses Dokumentes nicht, ob ich jetzt ein kleiner gleich, gleich oder größer gleich hinschreiben muss. Und wieso ist $\begin{eqnarray} y_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Das verstehe ich leider auch nicht. Wäre schön, wenn mir jemand diesbezüglich helfen könnte, da dies in meiner Prüfung am Ende der Woche drankommen wird. Mit freundlichen Grüßen, Majin_Clodan
29.07.2012, 23:44	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, womit kommst du denn noch nicht zurecht? Erstmal zu deiner ersten Frage: $\begin{eqnarray} y_2 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ ist nicht im Vorzeichen beschränkt, da die zweite Restriktion im primalen Min-Problem mit einem Gleichheitszeichen bedacht ist. Das ist in der Umwandlungstabelle die zweite Zeile. Hoffentlich ist am Ende der Woche nicht diese Woche. Mit freundlichen Grüßen.
30.07.2012, 10:49	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kasen75, also ich weiß nicht, ob ich beiden Nebenbedingungen ein "kleiner gleich", "gleich" oder "größer gleich" schreiben soll. Außer raten fällt mir nichts ein. An dem Dokument sehe ich das leider auch nicht so ganz. Also ich weiß beispielsweise nicht, wieso bei dem dualen Problem bei der ersten Nebenbedingung ein größer gleich, bei der zweiten ein gleich und bei der dritten ein größer gleich stehen muss. Mit freundlichen Grüßen Dario Kaßler
30.07.2012, 16:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nehmen wir mal die erste Restriktion des dualen Problems: $\begin{eqnarray} y_1 + 2y_2 - y_3 \le 1 \end{eqnarray}$ Dafür gehst du in Zeile 4 der Tabelle. In der Spalte des Min-Problems steht: Vorzeichenrestriktion $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} x_1 \geq 0 \end{eqnarray}$ ist, muss die erste Nebenbedingung im primalen Problem das Ungleichheitszeichen $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ haben. Denn es steht in der 4. Zeile der 2. Spalte: Ungleichrestriktion $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ Da im primalen Min-Problem $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ keine Vorzeichenrestriktion hat, ist im dualen Max-Problem die 2. Restriktion mit einem Gleichheitszeichen versehen. Warum muss jetzt, im dualen Max-Problem die dritte Restriktion ein $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ haben? Aufgrund welche Vorschrift (Zeile)? Mit freundlichen Grüßen.
01.08.2012, 09:50	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok. Jetzt habe ich s verstanden. Und zu deiner Frage: Aufgrund dessen, weil $\begin{eqnarray} x_3 \le 0 \end{eqnarray}$ . Die Regel, welche ich benutzte, ist die 6 Zeile in meiner Tabelle auf Seite 1 meiner verlinkten URL. Danke dir für die Hilfe. Mit freundlichen Grüßen Majin_Clodan
01.08.2012, 18:22	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Majin_Clodan, das was du geschrieben hast ist natülich absolut richtig. Falls du noch weitere Fragen hast, kannst dich gerne noch mal melden. Ansonsten viel Glück bei deiner Prüfung am Freitag(?). Mit freundlichen Grüßen.
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