Differentialgleichung durch Trennung der Variablen lösen?

29.07.2012, 21:39

Panda

Differentialgleichung durch Trennung der Variablen lösen?

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich übe gerade für einen Test und bin auf folgendes Beispiel gestoßen:

$\begin{eqnarray*} y^{2}+x^{2} y'=xyy' \end{eqnarray*}$ und angeblich soll dieses Beispiel durch Trennung der Variablen gelöst werden!

Meine Ideen:
Ich forme mal um nach y': $\begin{eqnarray*} y'=\frac{-y^{2} }{x^{2} -xy} \end{eqnarray*}$

Ich kann jetzt y'=dy/dx ersetzen, sehe aber beim besten Willen nicht wie ich alles mit y auf die eine und alles mit x auf die andere Seite bringen kann!

Wie kann man diese DG sonst lösen? Linear ist sie nicht, und bei der Variation der Konstanten bräuchte ich doch eine nur von x abhängige Funktion nach dem = oder?

Ich weiß hier nicht weiter. Hilfe...

29.07.2012, 21:49

original

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RE: Differentialgleichung durch Trennung der Variablen lösen?
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-y^{2} }{x^{2} -xy} \end{eqnarray*}$

schreibe das so:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-(\frac{y}{x})^2 }{1-\frac{y}{x} } \end{eqnarray*}$

und substituiere jetzt z=y/x

ok? smile

29.07.2012, 22:31

Panda

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hm, okay....

dann hab ich $\begin{eqnarray*} y'=\frac{z^{2} }{1-z} \end{eqnarray*}$ und dann..?

Ich meine ich muss hier das y' ersetzen oder? wenn ich y/x =z habe ist y=zx und y'=xz'+z

eingesetzt hab ich dann $\begin{eqnarray*} xz'+z=\frac{z^{2} }{1-z} \end{eqnarray*}$

und jetzt kann ich z' in dz/dx angeben und variablen trennen oder?

aber dann hab ich $\begin{eqnarray*} x*\frac{1}{dx} =\left(\frac{z^{2} }{1-z}-z\right)*\frac{1}{dz} \end{eqnarray*}$

und dann beide Seiten integrieren ja? und dann einfach rücksubstituieren? Hab ich dann nicht in der Lösung von y=blabla *y stehen? Darf das denn sein? geschockt

30.07.2012, 09:17

original

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Zitat:

Original von Panda

dann hab ich $\begin{eqnarray*} y'=\frac{z^{2} }{1-z} \end{eqnarray*}$ du hast das Minuszeichen vergessen

Ich meine ich muss hier das y' ersetzen oder? wenn ich y/x =z habe ist y=zx und y'=xz'+z

eingesetzt hab ich dann $\begin{eqnarray*} xz'+z=\frac{z^{2} }{1-z} \end{eqnarray*}$ Minus im Zähler

und jetzt kann ich z' in dz/dx angeben und variablen trennen oder?

aber dann hab ich $\begin{eqnarray*} x*\frac{1}{dx} =\left(\frac{z^{2} }{1-z}-z\right)*\frac{1}{dz} \end{eqnarray*}$ geschockt

-> Schwachsinn! -> die Differentiale müssen doch als Faktoren dastehen (nicht irgendwo im Nenner)

also:

$\begin{eqnarray*} xz'+z=\frac{- z^{2} }{1-z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xz'=\frac{-z^{2} }{1-z}-z= \frac{z}{z-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z-1}{z} \cdot dz = \frac{1}{x}\cdot dx \end{eqnarray*}$

so - jetzt mach selbst weiter und integriere mal richtig..

Wink

30.07.2012, 15:49

Panda

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Hey original, danke!

Habs gelöst smile

Nur noch eine Frage: Hat dieses Lösungsverfahren einen Namen? Und wüsstest du vielleicht noch ein Beispiel in der Richtung an dem ich das noch mal üben könnte?

Danke für deine Hilfe! Lg Panda

30.07.2012, 22:13

original

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Zitat:

Original von Panda

Hat dieses Lösungsverfahren einen Namen?

na ja - vielleicht : Eine Dgl, die durch Substitution mit z= y/x und anschliessender TdV
gelöst werden kann ist eine "Ähnlichkeitsdifferentialgleichung"
Tipp: google ...

zB:
http://www.mathepedia.de/Aehnlichkeitsdi...leichungen.aspx

.......................................................... Wink

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