globale extremwerte

30.07.2012, 14:00

Chris2

globale extremwerte

Hallo alle zusammen ich habe gerade probleme bei dieser Aufgabe:

Sei f: [ -1 , 1] x [ -1 , 1] entspricht R

definiert durch f ( x ,y)= e^(x^2+y^2) * ( x^2 + y^2 -1 )^2

Bestimmen Sie das globale Maximum und das globale Minimum
der Funktionswerte von f.

Muss ich bei der 1 ableitung produktregel anwenden?

30.07.2012, 14:23

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: globale extremwerte
Hallo,

wieso möchtest du ableiten?
Können die Exponential-Funktion oder das Quadrat negativ werden?
Kann der Wert der Exponentialfunktion größer als $\begin{eqnarray*} \mathrm e^2 \end{eqnarray*}$ werden? Oder der des Quadrats größer als 1?
Nutze die Monotonie in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ .

mfg,
Ché Netzer

PS: Was ist denn mit "entspricht" gemeint? So würde ich den Abbildungspfeil nicht sprechen.

30.07.2012, 14:45

Chris2

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich nicht ableiten soll, wie soll ich dann genau das Maximum rausbekommen? Das. Erstehe ich noch nicht so genau.

30.07.2012, 14:47

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollte ich ja andeuten:
Suche dir zunächst geeignete untere und obere Schranken für die Funktionswerte. Dann kannst du jeweils ein Paar $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[-1,1]^2 \end{eqnarray*}$ suchen, sodass diese auch angenommen werden.
Das reicht dann vollkommen aus. So zeigt man es sogar direkt, ohne über Ableitungen und andere Hilfsmittel gehen zu müssen.

30.07.2012, 14:52

Chris2

Auf diesen Beitrag antworten »

Die e funktion kann ja als höchsten wert 1 und als diedrigsten 0 haben .

Aber was für eine monotonie gibt es bei x^2 +y^2 ?

30.07.2012, 14:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte wann nimm die e-Funktion den Wert 0 an?

Zur Monotonie: Beide Faktoren (e-Funktion und Quadrat) sind monoton, zumindest im positiven Bereich. Auf jeden Fall kann man leicht das Maximum für $\begin{eqnarray*} (a+b-1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in[0,1] \end{eqnarray*}$ feststellen.

Also nochmal:
Welchen Wert nimmt die e-Funktion unter diesen Bedingungen maximal an und welchen minimal?
Gleiches für das Quadrat.
Und dann: Gibt es Punkte, an denen beide Funktionen ihr Minimum/Maximum annehmen?

30.07.2012, 15:12

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Bitte wann nimm die e-Funktion den Wert 0 an?

Zur Monotonie: Beide Faktoren (e-Funktion und Quadrat) sind monoton, zumindest im positiven Bereich. Auf jeden Fall kann man leicht das Maximum für $\begin{eqnarray*} (a+b-1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in[0,1] \end{eqnarray*}$ feststellen.

Also nochmal:
Welchen Wert nimmt die e-Funktion unter diesen Bedingungen maximal an und welchen minimal?
Gleiches für das Quadrat.
Und dann: Gibt es Punkte, an denen beide Funktionen ihr Minimum/Maximum annehmen?

Soll ich jetzt die funktion x^2 +y^2 ableiten oder wie?

30.07.2012, 15:21

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich sagte doch, dass du nichts ableiten musst.

Gehen wir mal schrittweise vor:
1. Welchen Wert nimmt die e-Funktion in diesem Fall mindestens an? (dazu kannst du dir überlegen, was das Minimum für den Exponenten ist)
2. Welchen Wert nimmt sie maximal an? (wieder das Maximum des Exponenten betrachten)
3. Welchen Wert nimmt das Quadrat $\begin{eqnarray*} (x^2+y^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ mindestens an? Bzw. welchen Wert nimmt ein (reelles) Quadrat generell mindestens an?
4. Welchen Wert nimmt dieses Qudrat maximal an? (überlege wieder, welchen Wert $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-1 \end{eqnarray*}$ maximal annimmt)

Und dann:
a. Findest du ein $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[-1,1]^2 \end{eqnarray*}$ , das 1. und 3. erfüllt?
b. Findest du ein $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[-1,1]^2 \end{eqnarray*}$ , das 2. und 4. erfüllt?

Neue Frage »

Antworten »

globale extremwerte

Verwandte Themen