Konvergenzbedingung Newtonverfahren

31.01.2007, 16:01

Dietrich

Konvergenzbedingung Newtonverfahren

Hi Leute,

Habe in einer Formelsammlung zum Thema Newtontangentenverfahren folgende Formel gefunden: (dient zur Hilfe der Suche nach dem Startwert)

Könnte mir jemand erklären wie man auf diese Formel kommt und was es mit der auf sich hat.

31.01.2007, 16:03

tigerbine

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RE: Konvergenzbedingung Newtonverfahren
Ich denke dein Referat war schon Augenzwinkern

31.01.2007, 16:03

Dietrich

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Sorry, hier das vergrößerte Bild:

31.01.2007, 16:03

Dietrich

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ne habe nur meine Ganzen sachen abgegeben Morgen muss ich es halten.

31.01.2007, 16:05

tigerbine

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Wo hast Du denn genau die Formel her. Und wie lautet genau die Aussage.

31.01.2007, 16:09

Dietrich

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Die Formel Habe ich aus der Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler.

Also ich schreibe mal den komplete Absatz rein:

Konvergenzbedingung

Die Folge der Näherungswerte x0, x1,x2 ... konvergiert gegen die gesuchte Lösung der Gleichung f(x) = 0 wenn im Intervall [a,b], in dem alle Näherungswerte liegen, die folgende Bedingung erfüllt ist:

31.01.2007, 16:10

Dietrich

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Ich muss diese Formel nicht herleiten nur ungefähr erklären

31.01.2007, 16:24

tigerbine

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Sei $\begin{eqnarray*} f \in C^2([a,b]) \end{eqnarray*}$ , d.h. zweimal stetig diff'bar. So lautet der Beweis für die Konvergenz (quadratisch) des Newtonferfahrens:

$\begin{eqnarray*} |x_{k+1}-\zeta|=|x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} - \zeta| =|x_k - \zeta -\frac{f(x_k)-f(\zeta)}{f'(x_k)}|=|(x_k-\zeta)-(x_k-\zeta) \frac{f(x_k)-f(\zeta)}{(x_k-\zeta)f'(x_k)}| \end{eqnarray*}$

Nun die erste Abschätzung und Anwendung des MWS der DiffR:

$\begin{eqnarray*} \leq |x_k-\zeta|\cdot|1-\frac{f'(y)}{f'(x_k)}|=|x_k-\zeta|\cdot |\frac{f'(x_k)-f'(y)}{f'(x_k)}|=|x_k-\zeta|\cdot|(x_k-y)\cdot\frac{f'(x_k)-f'(y)}{(x_k-y)\cdot f'(x_k)}| \end{eqnarray*}$

erneute Anwendung des MWS:

$\begin{eqnarray*} =|x_k-\zeta|\cdot|x_k-y|\cdot|\frac{f''(z)}{ f'(x_k)}| \end{eqnarray*}$

nun benutzen wir die Abschätzungen aus 2,3 und bedenke, dass wegen $\begin{eqnarray*} y \in (x_k; \zeta) \Rightarrow |x_k-y|\leq |x_k-\zeta| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{M}{m} \cdot |x_k-\zeta|^2 \end{eqnarray*}$

Für die lineare konvengenz können wir das ebenfalls ausnutzen, in der Art denn $\begin{eqnarray*} |x_k-y| \leq r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{M}{m}\cdot r |x_k-\zeta| \end{eqnarray*}$

d.h. r soweit verkleinern, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{M}{m} \cdot r < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M:=max|f''(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m:=min|f'(x)| \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 16:33

mercany

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Um zu erklären, wie es zu dieser Formel kommt, bedarf es weitaus mehr, als nur dem normalen Schulstoff. Bist du sicher, dass dies gefordert ist?

Gruß, mercany

31.01.2007, 16:35

Dietrich

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Vielen Danke erstmal

Ich muss Sie nicht herleiten und ehrlich gesagt ich hab gar nix verstanden. Ich muss sie nur ungefähr erklären in vll 2 Sätzen.

31.01.2007, 16:41

mercany

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Dann sage einfach, was die Ungleichung aussagt.

Nämlich:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) \cdot f''(x)}{f^2(x)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in I=[a,b] \end{eqnarray*}$ ist und die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann strebt die Folge der $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen die Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, mercany

31.01.2007, 17:04

Dietrich

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Warum strebt dann die Folge gegen die Lösung?

31.01.2007, 17:08

tigerbine

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Dazu ist dann wieder der Beweis zu führen. Das willst/kannst Du nicht. also kannst Du nur erwähnen, das man aus dem Beweis diese Formel erhält, die man sich auch unabhängig von diesem als Kriterium merken kann. Ihr Beweis ist eben kein zweizeiler.

31.01.2007, 17:19

Dietrich

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Ok vielen Dank.

Habe mein Vortrag in Stichpunkten notiert und halte morgen Punkt 8:40 Uhr mein Referat Big Laugh

Bis dann

Dietrich

31.01.2007, 17:23

tigerbine

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Good luck! Wink

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